Курсовая работа: Розвязання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера

План

1. Постановка задачі

2. Визначення. Загальні відомості про задачу Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

3. Розв’язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку методом Ейлера

а) похибка при вирішенні задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку методом Ейлера. Алгоритм розв’язання диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера

4. Блок – схема

5. Реалізація алгоритму у середовищі Borland Pascal

6. Результат роботи програми

7. Умовні позначення

8. Список використаних джерел

Постановка задачі

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ ТА МЕТОД ВИРІШЕННЯ

Вирішити диференціальне рівняння чисельним методом ( у^/ =f(x,y)) це означає для заданої послідовності аргументів х₀ , х₁ …, х_n і числа у₀ , не визначаючи функцію у=F(x),знайти такі значення у₁ , у₂ ,…, у_n , що у_i =F(x_i )(i=1,2,…, n) і F(x₀ )=y₀ .

Таким чином численні методи дозволяють замість знаходження функції У=F(x) отримати таблицю значень цієї функції для заданої послідовності аргументів. . Величина h=x_k -x_k-1 називаеться кроком інтегрування.

Метод Ейлера відноситься до численних методів, що дають відповідь у вигляді таблиці наближених значень шуканої функціїу(х). він є порівняно грубим та використовуеться в основному для приблизних розрахунків.

Визначення. Загальні відомості про задачу Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння виду :

де порядок старшої похідної к називається порядком звичайного диференціального рівняння. Звичайне диференціальне рівняння має безліч розв’язків. Для знаходження хоча б одного розв’язку потрібні додаткові умови. Ці умови можуть бути двох типів – задача Коші та Краєва задача. Згідно теми курсової роботи розглянемо лише перший тип умови, тобто задачу Коші. При розв’язанні задачі Коші додаткові умови задаються при одному значенні незалежної змінної. Наприклад, при х = а задані значення функції і можливі деякі похідні шуканої функції і так далі…. . Існують декілька методів розв’ язання задачі Коші:

1. Апроксимація рядом Тейлора

2. Методи Рунне – Кутта

3. Методи прогнозу та корекції

Нульовим наближенням всіх вище перерахованих методів вирішення задачі Коші є метод Ейлера.

Розв ’ язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку методом Ейлера

Розглянемо найпростіший метод вирішення задачі Коші. Проілюструємо його на прикладі звичайного диференціального рівняння першого порядку.

ПУ *

Підстановка ПУ в початкове ЗДР* дає значення похідної функції в початковій точці. Розв’язок в наступній точці записується у вигляді:

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--