Курсовая работа: Розвиток логічного мислення учнів у процесі вивчення геометрії

Оволодіння будьякою наукою немислиме без опанування системою поняття цієї науки. Поняття – це форма мислення, в якій відображається суть предметів і явищ реального світу в їх істотних необхідних ознаках і відношеннях. Кожному поняттю відповідає певний об’єкт мислення. Ним можуть бути будь – який матеріальний предмет або явище природи чи суспільства, окремі властивості цих предметів чи явищ, окреме слово чи група слів і так далі [10].

Усе те, в чому предмети схожі один з одним або що їх відрізняє одне від одного, у логіці називається їх ознаками. Істотними вважаються ті ознаки предмета, кожна з яких необхідна, а їх сукупність достатня для того, щоб відрізняти даний предмет (чи клас предметів) від інших і дістати відповідь на запитання : „що це таке ?”. Наприклад , поняттям про квадрат буде поняття про прямокутник, у якого всі сторони рівні. Тут виділено дві ознаки: прямокутність і рівність усіх сторін. Кожна з цих двох ознак, взята окремо, відрізняє квадрат або від ромба, у якого всі сторони рівні, але немає характерної для квадрата властивості – прямокутність; або від нерівностороннього прямокутника. Виделені дві ознаки квадрата не тільки необхідні кожна зокрема; разом їх виявляється цілком достатньо для того, щоб за їх допомогою, не вказуючи ніяких інших ознак, ми могли відрізнити квадрат від будьякої іншої геометричної фігури. Отже, виділені дві ознаки істотні для квадрата.

Існують родові і видові ознаки. Родовими називають ознаки, істотні для предметів одного класу. Наприклад, для ромба такою ознакою є належність до множини паралелограмів. Видовими ознаками називають ті, які лежать в основі виділення певної групи предметів у межах роду. Наприклад, видовою ознакою ромба є рівність усіх його сторін, оскільки саме ця ознака виділяє ромб з множини усіх паралелограмів.

Сукупність істотних ознаках, спільних для всіх предметів даного класу, що входять у дане поняття, називається змістом поняття. Наприклад, змістом поняття „квадрат” є обидві його істотні ознаки : прямокутність і рівність усіх сторін; змістом поняття „непроникності” є властивість геометричних тіл, коли два тіла не можуть водночас займати один і той самий простір.

Обсяг або об’єм поняття – це певна сукупність, множина, клас предметів, кожний з яких має ознаки, відображені в змісті поняття. Так, обсяг поняття „квадрат ” становить множина всіх чотирикутників, які мають істотні ознаки квадрата.

Зміст і обсяг поняття тісно пов’язані між собою і залежать один від одного. Із збільшенням змісту поняття зменшується його обсяг і навпаки – зменшення змісту поняття збільшується його обсяг. Наприклад , в обсяг поняття „паралелограм” входять усі види паралелограмів, зміст цього поняття становлять ознаки : „чотирикутника” і „попарна паралельність несуміжних сторін”. Коли до цих істотних ознак додати ознаку „ рівність усіх кутів зазначеної фігури”, то обсяг поняття зменшиться – тепер до нього входить лише частина всіх паралелограмів, тобто лише прямокутники.

Зміст і обсяг поняття – це дві його сторони, невіддільні від нього. Залежність між змістом і обсягом понять добре розкривається через дії обмеження й узагальнення. Обмеження поняття – це логічна дія, внаслідок якої відбувається перехід від поняття з більшим обсягом ( роду) до поняття з меншим обсягом (виду) через додавання до змісту попереднього поняття ознак, які стосуються лише частини предметів, що входять в обсяг вихідного поняття.

Узагальнення – це логічна дія над поняттям, яка за своїм характером протилежна обмеженню. Результатом узагальнення є поняття, більші за обсягом, ніж вихідне. У процесі узагальнення думка йде від поняття меншої загальності (виду) до поняття більшої загальності (роду). Так, якщо у понятті „правильна піраміда” віднімемо ознаки „основою піраміди є правильний багатокутник” і „основа висоти збігається з центром цього багатокутника”, то дістанемо загальніше поняття „піраміда”; віднявши видові ознаки поняття „піраміда”, дістанемо ще ширше поняття – „багатогранник”

Таким чином, рух від загального до конкретного здійснюється за допомогою обмеження понять, а умовою розширення знань, виявлення все ширших зв’язків і відношень між предметами дійсності є узагальнення.

Важливу роль у встановлені відношення між поняттями відіграє порівняння, яке є важливим методом пізнання. На основі порівняння змісту і обсягу понять їх поділяють на дві великі групи порівнянні і непорівнянні. Ті поняття, у зміст яких порівнянні поняття відображають предмети однієї предметної області, то вони можуть мати спільну частину обсягу. Ці поняття належать до одного й того самого найближчого роду.

Непорівнянні поняття не мають найближчого спільного родового поняття, оскільки вони відображають предмети різних, віддалених предметів галузей. Наприклад, поняття „трикутник” і „хоробрість” непорівнянні – вони відображають предмети, які не мають спільних ознак. Предметом дослідження нормальної логіки є порівнянні поняття, бо вони відіграють важливу роль у мисленні і пізнанні дійсності.

Порівнянні поняття поділяють на сумісні і несумісні. Якщо два порівняні поняття в своєму змісті не мають ознак, що виключають повний або частковий збіг обсягів цих понять, то їх називають сумісними.

Сумісність поняття включають у свій обсяг поняття, які перебувають у відношенні тотожності ( рівнозначності), підпорядкованості та часткового збігу(перерізу). У відношенні тотожності або рівнозначності перебуває поняття, які мають однаковий обсяг, але відрізняються одне від одного змістом. Це, наприклад, поняття перпендикуляра, проведеного в площині прямої, яка має той самий напрям і проходить через цю саму точку на колі. Обидва предмета мають різні ознаки, але один і той самий обсяг, бо такий перпендикуляр і така пряма збігаються.

У мові тотожні поняття називаються синонімами. У відношенні підпорядкування перебувають поняття, обсяг першого з яких повністю входить в обсяг другого тільки частково входить в обсяг першого. Перше поняття називається підпорядкованим, а друге – підпорядкованим.

Несумісні поняття –це поняття, обсяги яких зовсім не збігаються. Множини, відповідні цим поняттям, не мають спільних елементів. Зміст таких понять виключає будьяку можливість як повного, так і часткового обсягу. До несумісних належать поняття, які перебувають у відношенні співпідпорядкування, протилежнності і суперечності.

У відношенні співпідпорядкування перебувають поняття, обсяги яких входять у більш широке поняття якому вони однаковою мірою підпорядковуються. Множини співпідпорядкуваних понять не мають спільних елементів. Зміст цих понять має спільну родову ознаку але кожне з них має ще й свої власні видові ознаки.

У відношенні протилежності ( або супротивності, контрарності – від латинського слова contrarium – протилежність ) перебуває поняття, обсяги яких входять в обсяг підпорядковуючого, але повністю його не вичерпують. Зміст цих понять виключають зміст протилежного йому поняття. Між протилежними поняттями можливе третє. Прикладом понять, що перебувають у відношені протилежності, є „гострокутний трикутник” „тупокутний трикутник” (між ними можливе третє поняття – „прямокутний три кутник”, спільною родовою ознакою їх є поняття „трикутник”.

У відношенні суперечності перебувають такі два сумісні поняття, кожне з яких включає зміст іншої. Обсяги їх не збігаються і водночас вичерпують обсяг родового поняття. Між ними неможливе третє поняття. Такими поняттями будуть: „рівний”„нерівний”, „гострий”„негострий” , „ціле число”„неціле число”, „більше”„не більше” і так далі.

Поділ поняття – це логічна дія, яка полягає в мисленому поділі обсягу (роду) поняття на видові поняття, з яких відображені види предметів.

Особливим видом поділу є також кваліфікація. Тут не обмежується поділом поняття на класи, а класи поділяють на підкласи, підкласи –на ще дрібніші частини і так далі.

Логічний поділ ( утому числі і класифікація) має велике значення при вивченні будьякої науки, бо розчленовуючи обсяг поняття на окремі класи чи види, що мають і подібні, і відмінні ознаки, ми маємо можливість глибше вивчати поняття конкретної науки і зв’язки між ними.

Розглянемо означення понять

Поняття вводять за допомогою логічної операції означення.Особливу велику роль означення відіграють у математиці. Вони допомогають виділити даний предмет з множини інших об’єктів. Під означенням ми розуміємо таку логічну операцію, за допомогою якої розкривається зміст поняття. Отже, означити поняття – це перелічити всі істотні ознаки об’єктів, що входять у дане поняття. Словесне позначення поняття називається терміном. Наприклад ,

„кут”, „коло”, „переріз множини”терміни. Поняття, яке означується , називають означуваним, а те поняття чи групу понять, за допомогою яких вводиться означуване поняття , називають означуючими поняттями. Наприклад „Ромбом називається паралелограм, сторони якого рівні”. У цьому означенні „паралелограм” – означуюче, а „ромб” –означуване поняття.

У математиці існують різні види означень. Найпоширеніший з них – означення через найближчий рід і видову ознаку. Цей спосіб полягає в тому, що називаються, по перше, найближчий рід, до якого належить означуване поняття, і подруге, особлива ознака ( або кілька ознак) даного поняття, що характеризує його як один з видів зазначеного роду. У курсі шкільної математики існують такі означення :

„Центральним кутом у колі називається плоский кут з вершиною в центрі цього кола” (тут „плоский кут” – родове поняття, а властивість вершини плоского кута лежати в центрі кола – видова ознака);

„Паралелограм – це чотирикутник, в якого протилежні сторони паралельні” –(тут „чотирикутник” родове поняття, а властивість його протилежних сторін бути паралельними видова ознака);

„Якщо основою призми є паралелограм, то вона називається паралелепіпедом” (тут поняття „призма” – родове, а властивість призми мати в основі паралелограм видова ознака) та інше.

Означення через найближчий рід і видову ознаку застосовується тоді, коли відомо, що означуване поняття є поняттям про предмет, який належить до одного з видів певного роду. При такому введені понять у самому означенні не вказується спосіб виникнення означуваного об'єкта. Але окремі означення можуть розглядати предмет і за способом його утворення або виникнення . При цьому ознаки змісту поняття розглядається як зумовлені самим способом виникнення предмета. Означення такого типу називаються генетичними ( від слова „генезис”, що означає „виникнення”). Прикладами таких означень у шкільній математиці є: „Бісектрисою кута –називається промінь, який виходить з його вершини, проходить між його сторонами і ділить кут пополам”; „пірамідою називається багатогранник, утворений усіма відрізками, які сполучають дану точку – вершину піраміди – з точками плоского багатокутника – основи піраміди” та інші. Генетичні означення задають можливий спосіб утворення предмета і водночас властивості цього предмета. Окремим видом генетичних означень є індуктивні означення.