Курсовая работа: Система массового обслуживания с ограниченным временем ожидания

Примеры:

1. Система S – технологическая система (участок станков). Станки время от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс, протекающий в этой системе, случаен.

2. Система S – самолет, совершающий рейс на заданной высоте по определенному маршруту. Возмущающие факторы – метеоусловия, ошибки экипажа и т.д., последствия – «болтанка», нарушение графика полетов и т.д.

1.2 Марковский случайный процесс

Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским , если для любого момента времени t ₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t ₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пусть в настоящий момент t₀ система находится в определенном состоянии S ₀ . Мы знаем характеристики состояния системы в настоящем и все, что было при t <t ₀ (предысторию процесса). Можем ли мы предугадать (предсказать) будущее, т.е. что будет при t >t ₀ ? В точности – нет, но какие-то вероятностные характеристики процесса в будущем найти можно. Например, вероятность того, что через некоторое время система S окажется в состоянии S ₁ или останется в состоянии S ₀ и т.д.

Пример . Система S – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Пусть x – количество «красных» самолетов, y – количество «синих» самолетов. К моменту времени t ₀ количество сохранившихся (не сбитых) самолетов соответственно – x ₀ , y ₀ . Нас интересует вероятность того, что в момент времени численный перевес будет на стороне «красных». Эта вероятность зависит от того, в каком состоянии находилась система в момент времени t ₀ , а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента t ₀ самолеты.

На практике Марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются. Но имеются процессы, для которых влиянием «предыстории» можно пренебречь. И при изучении таких процессов можно применять Марковские модели (в теории массового обслуживания рассматриваются и не Марковские системы массового обслуживания, но математический аппарат, их описывающий, гораздо сложнее).

В исследовании операций большое значение имеют Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Процесс называется процессом с дискретным состоянием , если его возможные состояния S ₁ , S ₂ , … можно заранее определить, и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.

Процесс называется процессом с непрерывным временем , если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны и могут произойти в любой момент.

Далее рассматриваются только процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем.

Пример . Технологическая система (участок) S состоит из двух станков, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время. Возможны следующие состояния системы:

S ₀ - оба станка исправны;

S ₁ - первый станок ремонтируется, второй исправен;

S ₂ - второй станок ремонтируется, первый исправен;

S ₃ - оба станка ремонтируются.

Переходы системы S из состояния в состояние происходят практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или иного станка или окончания ремонта.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний . Вершины графа – состояния системы. Дуги графа – возможные переходы из состояния в состояние. Для нашего примера граф состояний приведен на рис. 1.

Рис. 1. Граф состояний системы

Примечание. Переход из состояния S ₀ в S ₃ на рисунке не обозначен, т.к. предполагается, что станки выходят из строя независимо друг от друга. Вероятностью одновременного выхода из строя обоих станков мы пренебрегаем.

1.3 Потоки событий

Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

В предыдущем примере – это поток отказов и поток восстановлений. Другие примеры: поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей в магазине и т.д.

Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени O t – рис. 2.

Рис. 2. Изображение потока событий на оси времени

Положение каждой точки случайно, и здесь изображена лишь какая-то одна реализация потока.