Курсовая работа: Система массового обслуживания с ограниченным временем ожидания

Пусть рассматриваемая система S имеет -возможных состояний . Вероятность -го состояния - это вероятность того, что в момент времени , система будет находиться в состоянии . Очевидно, что для любого момента времени сумма всех вероятностей состояний равна единице:

Для нахождения всех вероятностей состояний как функций времени составляются и решаются уравнения Колмогорова – особого вида уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Правило составления этих уравнений приведем здесь без доказательств. Но прежде, чем его приводить, объясним понятие финальной вероятности состояния .

Что будет происходить с вероятностями состояний при ? Будут ли стремиться к каким-либо пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний .

где - конечное число состояний системы.

Финальные вероятности состояний – это уже не переменные величины (функции времени), а постоянные числа. Очевидно, что:

Финальная вероятность состояния – это по–существу среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Например, система S имеет три состояния S ₁ , S ₂ и S ₃ . Их финальные вероятности равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это значит, что система в предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S ₁ , 3/10 – в состоянии S ₂ и 5/10 – в состоянии S ₃ .

Правило составления системы уравнений Колмогорова : в каждом уравнении системы в левой его части стоит финальная вероятность данного состояния , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния , а в правой его части – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в -е состояние , на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пользуясь этим правилом, напишем систему уравнений для нашего примера :

.

Эту систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными , казалось бы, можно вполне решить. Но эти уравнения однородны (не имеют свободного члена), и, значит, определяют неизвестные только с точностью до произвольного множителя. Однако можно воспользоваться нормировочным условием: и с его помощью решить систему. При этом одно (любое) из уравнений можно отбросить (оно вытекает как следствие из остальных).

Продолжение примера . Пусть значения интенсивностей потоков равны: .

Четвертое уравнение отбрасываем, добавляя вместо него нормировочное условие:

.

.

Т.е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет проводить в состоянии S ₀ (оба станка исправны), 20% - в состоянии S ₁ (первый станок ремонтируется, второй работает), 27% - в состоянии S ₂ (второй станок ремонтируется, первый работает), 13% - в состоянии S ₃ (оба станка ремонтируются). Знание этих финальных вероятностей может помочь оценить среднюю эффективность работы системы и загрузку ремонтных органов.

Пусть система S в состоянии S ₀ (полностью исправна) приносит в единицу времени доход 8 условных единиц, в состоянии S ₁ – доход 3 условные единицы, в состоянии S ₂ – доход 5 условных единиц, в состоянии S ₃ – не приносит дохода. Тогда в предельном, стационарном режиме средний доход в единицу времени будет равен: условных единиц.

Станок 1 ремонтируется долю времени, равную: . Станок 2 ремонтируется долю времени, равную: . Возникает задача оптимизации . Пусть мы можем уменьшить среднее время ремонта первого или второго станка (или обоих), но это нам обойдется в определенную сумму. Спрашивается, окупит ли увеличение дохода, связанное с ускорением ремонта, повышенные расходы на ремонт? Нужно будет решить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными.

1.5 Задачи теории массового обслуживания

Примеры систем массового обслуживания (СМО): телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, станочные и другие технологические системы, системы управления гибких производственных систем и т.д.

Каждая СМО состоит из какого–то количества обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания (это станки, транспортные тележки, роботы, линии связи, кассиры, продавцы и т.д.). Всякая СМО предназначена для обслуживания какого–то потока заявок (требований), поступающих в какие-то случайные моменты времени.

Обслуживание заявки продолжается какое–то, вообще говоря, случайное время, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что в какие–то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными). В другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

Процесс работы СМО – случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (прихода новой заявки, окончания обслуживания, момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).

Предмет теории массового обслуживания – построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками – показателями эффективности СМО. Эти показатели описывают способность СМО справляться с потоком заявок. Ими могут быть: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания и т.д.

Математический анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этой работы Марковский, т.е. потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние – простейшие. Иначе математическое описание процесса очень усложняется и его редко удается довести до конкретных аналитических зависимостей. На практике не Марковские процессы с приближением приводятся к Марковским. Приведенный далее математический аппарат описывает Марковские процессы.

1.6 Классификация систем массового обслуживания