Курсовая работа: Средства языка программирования Паскаль для решения математических задач

В первой задаче требуется разработать алгоритм и его реализацию для нахождения интеграла функции, заданной графически. Ценность данной задачи заключается в том, что не для каждой функции значение интеграла можно найти аналитически. Однако с использованием предложенного численного метода, возможно, получить конкретное значение с достаточной требуемой точностью.

Во второй задаче необходимо составить алгоритм и реализацию данного алгоритма, который позволит напечатать таблицу значений функции, заданной в виде разложения в ряд. Без использования компьютера процесс вычисления значений такой функции занимает достаточно длительное время. Компьютер же дает возможность значительно ускорить этот процесс, что позволяет, например, проследить изменение значения функции на различных интервалах, т.е. при различных значениях аргумента.

В третьей задаче представлена работа с частным случаем многомерных массивов – матрицей. Использование матриц – весьма распространенное явление в программировании. Это, например, работа с преобразованием графики, моделирование трехмерных объектов. В математике матрицы также часто используются в различных задачах. Умение работать с ними – очень важно.

1. Вычисление значения интеграла функции,

заданной графически

1.1. Задания и постановка задачи.

Задание (вариант №15):

Составить программу на языке Turbo Pascal 7.0 вычисления значения интеграла на интервале [a, b] для функции, заданной графически. Значение интеграла вычислить приближённо по итерационной формуле левых прямоугольников:

b

I = ò f (x )dx @ I n = h (f 1 + f 2 +…+ f n-1),

a

где h=(b-a)/n – величина шага между двумя соседними точками разбиения интервала интегрирования; fi = f(xi) – значение функции в точке xi = a + h(i –1); i = 1, 2, …, n.

Вычисления закончить при выполнении условия |In – I2n| < e, где e>0 – достаточно малое значение, задаваемое пользователем (точность вычислений). Здесь In, I2n – значения интеграла, вычисленные по данной формуле при количестве разбиения на n и 2n соответственно.

Численные значения всех величин, участвующих в вычислениях, считать параметрами программы и определить их путём ввода.

График функции:

Пояснение к заданию:

Анализируя график функции можно сделать вывод, что для аналитического задания уравнения функции следует ее рассматривать на различных интервалах:

x <= -c Þ y = kx + b

-c < x < =c Þ y = Ln(c)

c < x Þ y = lg(x),

где kx + b =, lg x = (ln(x))/(ln(10));

x – аргумент функции; y – её значение; c – параметр функции (c>0), вводимые пользователем с клавиатуры.

1.2 Математическая формулировка задачи.

Решение многих задач (например, определение пути при неравномерном движении, работы переменной силы, расходов воды в реках и каналах, площади поперечного сечения судна) находится с помощью определённого интеграла. Иногда для вычисления определённого интеграла от непрерывной на отрезке [a; b] функции f ( x ) можно просто воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

b

S = ò f(x) dx = F(b) – F(a),

a

где F ( x ) – первообразная для функции f ( x ) [F ¢ ( x )= f ( x ) ].

Однако воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница в большинстве ситуаций не представляется возможным.

В этом случае используются приближённые методы для вычисления определённого интеграла. Все они основаны на том, что геометрически интеграл функции f ( x ) в пределах от a до b представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, осью Ox и прямыми x = a, x = b. Рассмотрим один из этих методов.

1.3 Численный метод решения.

Пусть требуется приближённо вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции f ( x ) и прямыми x = a , x = b , y = 0.

Идея алгоритма вычисления площади криволинейной трапеции состоит в следующем: