Курсовая работа: Використання можливостей системи Wolfram Mathematica при вивчені математичного аналізу

На рис.2.1.1 представлені приклади застосування функції Limit.Ця функція дозволяє не тільки чисельно знаходить границі функцій, заданих аналітично, але і дозволяє знайти границю у вигляді математичного виразу. Це свідчить про високі інтелектуальні можливості системи Mathematica.

При роботі з функцією Limit використовуються наступні опції:

• Analytic – вказує, чи є невідома функція аналітичною.Опція використовується у вигляді Analytic→True (або False), значення за замовчуванням – Automatic.Великого практичного значення ця опція не має;

• Direction - вказує напрямок, в якому відбувається наближення до границі.Опція використовується у вигляді Direction→-1 (або +1), за замовчуванням вибір залишається за системою (Automatic).Значення +1 означає границю ліворуч, а -1 – праворуч (здавалося б, повинно бути навпаки, але задано саме так).

Застосування опції Direction пояснюють приклади, показані на рис.2.1.2.

З прикладів видно, що границі при наближенні до них зліва і справа різні.Графік дає пояснення наближень і відповідей.З графіка видно, що функція має розрив безперервності і при наближенні до нього ліворуч (+1), границею буде від’ємне значення функції (-π / 2), і при наближенні праворуч (-1) – позитивне (π / 2).

2.2Обчислення похідних

До числа найбільш часто використовуваних математичних операцій належить обчислення похідних функцій як в аналітичній, так і в символьній формі.Для цього використовуються такі функції:

• D [f, х] – повертає частинну похідну функції f по змінній х;

• D [f, {х, n}] – повертає частинну похідну n-го порядку по х;

• D [f, xl, х2 ,...] – повертає змішану похідну;

• Dt [f, х] – повертає узагальнену похідну функції f по змінній х;

• Dt [f] – повертає повний диференціал f.

Для функції D існує опція NonConstants, яка дозволяє задати список об'єктів, що знаходяться в неявній залежності від змінних диференціювання.За замовчанням цей список порожній.Для функції Dt є опція Constants, яка, навпаки, вказує символи, які є константами (за замовчанням їх список також порожній).На практиці застосовувати дані опції приходиться рідко.

Існує ще одна функція, Derivative [nl, n2 ,...] [f], - основна (загальна) форма подання функції, отриманої в результаті nl-кратного диференціювання функції f по першому аргументу, n2-кратного - по другому аргументу і т. д.

Приклади застосування функції D і Dt для обчислення похідних в аналітичному вигляді показані на рис.2.2.1 й рис. 2.2.2, відповідно.

Приклади на рис.2.2.3 ілюструють обчислення похідних від першого до третього порядку включно для функції f[х], заданої користувачем.

З останнього прикладу видно, що для обчислення вищих похідних можливе послідовне застосування функції D.

У цілому засоби для символьного обчислення похідних, які є в ядрі системи Mathematica, охоплюють практично всі важливі типи математичних виразів.Вони можуть включати в себе як елементарні, так і спеціальні математичні функції, що вигідно відрізняє систему Mathematica від деяких простих систем символьної математики, таких як Derive.

3. Обчислення інтегралів

Одна з найважливіших операцій – обчислення первісних і визначених інтегралів у символьному вигляді. Зауважимо, що визначений інтеграл може бути представлений як аналітичним, так і чисельним значенням.Для обчислення чисельних значень визначених інтегралів розроблено ряд наближених методів – від простих (прямокутників і трапецій) до складних, які автоматично адаптуються до характеру зміни підінтегральної функції f(x).

Для інтегрування в системі Mathematica використовуються наступні функції:

• Integrate [f, x] – повертає первісну (невизначений інтеграл) підінтегральної функції f по змінній х;

• Integrate [f, {x, xmin, xmax}] – повертає значення визначеного інтеграла з межами від x_min до x_max ;

• Integrate [f, {x, xmin, xmax}, {у, ymin, ymax },...] – повертає значення кратного інтеграла з межами від x_min до x_max по змінній х, від y_min до y_max по зміннійу і т. д.

Для більш зручного вживання цих функцій, також як і для похідної і границі, існують кнопки з відповідними значками на палітрі Basic Math Assistant .

Приклади обчислення невизначених інтегралів представлені на рис. 2.3.1.

Тут вхідна комірка у першому прикладі представлена у форматі введення (Input-Form), а в інших прикладах – в стандартному форматі (StandardForm), при використанні палітри.При записі інтегралів останній формат кращий зважаючи на наочності, оскільки при цьому знаки інтеграла мають природний математичний вигляд.

Наступна серія прикладів (рис. 2.3.2) ілюструє обчислення визначених інтегралів звичайного виду та інтегралів з межами-функціями.

Система Mathematica має найширші можливості обчислення інтегралів.Ядро системи увібрало в себе формули інтегрування з усіх відомих довідників.

Mathematica здатна обчислювати навіть кратні інтеграли з фіксованими і змінними, верхнім або нижнім, межами.