Курсовая работа: Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов

4,400000

38,932473

4,600000

55,010372

4,800000

75,079033

5,000000

100,022597

Теорема 1. Если непрерывная на отрезке [a ; b ] функция f(x) принимает на концах его противоположные знаки, т.е. f(a) f(b)<0 , то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f ( x )=0 . Корень заведомо будет единственным, если производная f^/ (x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (a ; b ), т.е. если f^/ (x) >0 (или f^/ (x<0) ) при а<х< b .

Искомый корень уравнения находится в интервале (3;4).

1.2 Уточнение корня

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения корня х₀ . В результате этого процесса находится последовательность приближений (итераций) значений корня уравнения f(x)=0 :

х₁ , х₂ , …, х_п

Если эта последовательность имеет предел

,

то говорят, что итерационный процесс сходится и сходится к точному решению уравнения х [3;4].

На практике нужно ограничивать итерационный процесс конечным числом шагов (итераций) п . Количество итераций зависит от требуемой точности нахождения корня.

Для прекращения итерационного процесса применяются различные критерии, зависящие от вида функции у= f (х) в окрестности корня.

Существует несколько итерационных методов решения нелинейных уравнений: метод половинного деления (бисекций), метод хорд, метод Ньютона (метод касательных), модифицированный метод Ньютона.

Рассмотрим более подробно метод хорд.

1.2.1 Метод Ньютона

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшого участка дуги кривой у= f ( x ) касательной, проведенной в некоторой точке этой кривой.

Пусть функция у=е^х + ln х-10х на отрезке [3;5] удовлетворяет условиям теоремы 1.

Положим для определенности для и f (5)>0. И выберем в качестве нулевого приближения х₀ =5, для которого выполняется условие f ( x )* f ”( x ) >0.

Проведем касательную к кривой у= f ( x ) в точке В₀ [х₀ ; f ( x ₀ ) ]. В качестве первого приближения корня х₁ возмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ . Через точку В₁ [х₁ ; f ( x ₁ ) ] снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х₂ и т.д.

Уравнение касательной в точке В₁ [х₁ ; f ( x ₁ ) ] (п=0,1,2… ) к нашей кривой записывается

Пологая у=0 , х=х_п+1 , получим формулу для построения последовательности корня нашего уравнения, т.е. итерационную последовательность

.

Метод касательных хорошо реализуется на ЭВМ

« 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 » К-во Просмотров: 425 Бесплатно скачать Курсовая работа: Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов >>> Скачать <<< Меню Поиск