Курсовая работа: Застосування координатного методу в стереометрії

Канонічне рівняння прямої . Нехай у просторі обрана прямокутна декартова система координат і в цій системі відомі координати деякої точки М₀ (x₀ , y₀ ,z₀ ) та координати направляючого вектора прямої d. Напишемо рівняння цієї прямої. Спочатку розглянемо той випадок, коли жодна з координат вектора не дорівнює нулю.

Очевидно, точка М (x, y, z) розташована на прямій d тоді і тільки тоді, коли вектори та колінеарні. Вектор має координати (х-х₀ , y-y₀ , z-z₀ ). Враховуючи умову колінеарності, можна записати рівняння прямої d:

(1)

Якщо одна з координат вектора дорівнює нулю, наприклад: , то умова колінеарності запишеться так:

(2)

Аналогічно, якщо дорівнюють нулю дві координати вектора , наприклад: , то отримуємо:

y-y₀ =0, z-z₀ =0 (3)

В цьому випадку пряма d паралельна осі Ох ( якщо принаймні одно з чисел y₀ ,z₀ відмінно від нуля) або співпадає з віссю Ох (якщо y₀ = z₀ =0).

Рівняння (1), (2), (3) звуться канонічними рівняннями прямої.

Рівняння прямої, заданої двома точками . Нехай в просторі обрана афінна система координат і в цій системі відомі координати двох точок М₁ (x₁ , y₁ ,z₁ ) та М₂ (x₂ , y₂ ,z₂ ) прямої d. Тоді вектор є напрямним вектором цієї прямої. Оскільки вектор має координати (х₂ -х₁ , y₂ -y₁ , z₂ -z₁ ), то канонічне рівняння прямої d при згідно формули (1) має вигляд:

(4)

Якщо одна з координат вектора або дві його координати дорвінюють нулю, то для отримання канонічних рівнянь прямих слід скористатися формулами (2) та (3).

Приклад.

Нехай у просторі задано дві точки М₁ (1,2,5) та М₂ (4,7,8). Треба скласти рівняння прямої, що проходить крізь ці точки.

Розв’язання. Згідно (4), маємо:

Рівняння прямої, що задана двома площинами . Нехай пряма d є лінією перетину площин та , що в декартовій прямокутній системі координат задані рівняннями:

(5)

Точка М (x, y, z) належить прямій d тоді та тільки тоді, коли її координати є розв’язанням системи рівнянь (5), тому ця система і є рівнянням прямої d. Навпаки, будь-яка система рівнянь (5) є рівнянням деякої прямої простору, якщо ранг матриці дорівнює двом.

Для того, щоб знайти канонічне рівняння прямої, що задана рівняннями (5) , потрібно знати координати будь-якої точки М₀ цієї прямої та деякого направляючого вектора . Точку М₀ (x₀ , y₀ ,z₀ ) слід обрати так, щоб її координати задовольняли системі лінійних рівнянь (5) . Для знаходжння координат направляючого вектора слід скористатися лемою: якщо в декартовій системі координат пряма завдана рівняннями (5), то вектор є направляючим вектором цієї прямої.

Приклад. Написати канонічне рівняння прямої ,що в декартовій просторовій прямокутній системі координат задана системою рівнянь:

Розв’язання. Спочатку оберемо будь-яку точку на даній прямій. В даному випадку коефіцієнти при х та у не пропорційні, тому надамо z довільне значення, наприклад z₀ =0 та знайдемо з вихідної системи : х₀ =-1, у₀ =-4. Ми знайшли точку М₀ (-1,-4,0), що належить даній прямій.

Координати напрямного вектора знайдемо , скористувавшись наведеною вище лемою: або

Таким чином, канонічне рівняння прямої, заданої вихідним рівнянням, має вигляд:

Параметричне рівняння прямої . Оберем прямокутну систему координат і задамо пряму d з напрямним вектором та точкою М₀ (x₀ , y₀ ,z₀ ). Точка М (x, y, z) простору належить прямій d тоді та тільки тоді, коли вектори та колінеарні, тобто коли існує таке число t, що . Це відношення в координатах запишеться так:

,

або

(6)

Ці рівності звуться параметричними рівняннями прямої , а t- параметром.

Будь-яку площину у просторі можна задати точкою, що їй належить М₀ (x₀ , y₀ ,z₀ ) та направляючим підпростором , де