Математика / Курсовая работа: Зависимость потребления бензина от количества автомобилей

Курсовая работа: Зависимость потребления бензина от количества автомобилей

2) Подтвердилась ли гипотеза о том, что зависимость между и

близка к квадратичной?

3) Какая из двух кривых - прямая или парабола - меньше отклоняется от точек выборки () ?

Диаграмма рассеивания

Даны выборки и , которые можно интерпретировать следующим образом: — потребление бензина, — количество автомобилей. Задача состоит в изучении характера зависимости между и . Исходные выборки представлены в таблице:

X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
8,64558	116,76	22,2483	112,8	35,3723	113,328	48,6586	125,396
9,30954	115,72	22,38	114,03	35,8685	119,397	49,2468	126,783
9,54538	109,996	22,743	114,952	36,0494	124,624	49,0515	125,652
9,91695	126,634	23,0127	117,027	36,5302	118,734	49,7645	119,88
10,3459	112,28	23,9216	110,664	36,7256	126,531	50,6983	129,604
11,1794	115,564	24,7213	120,474	37,2568	125,601	50,4538	125,877
12,0403	116,048	25,2151	120,749	38,6184	121,974	51,7368	124,935
12,4383	114,524	25,5633	125,365	38,669	123,196	52,3859	121,572
12,8887	114,716	26,5224	117,494	39,2617	119,925	52,932	127,416
13,3673	107,328	26,654	112,982	40,1783	122,293	53,1557	123,507
13,5643	114,422	26,7975	112,34	40,239	120,465	54,0261	128,29
14,4435	118,925	27,6272	127,172	41,1804	122,419	54,4972	136,727
14,4909	123,297	28,2653	121,229	40,8874	127,014	54,3892	125,732
15,3408	119,606	28,6799	119,246	42,0704	133,402	55,475	124,107
15,5866	116,443	28,9424	113,728	42,7372	136,142	55,7691	128,79
16,9966	119,384	29,8652	124,189	42,8423	123,36	55,912	139,417
17,4323	116,428	30,2303	131,775	43,6994	128,363	56,6281	127,151
17,2341	123,058	30,6092	113,164	44,4041	118,225	57,6097	130,697
17,7988	116,349	31,6162	122,517	45,0372	126,604	57,3441	142,839
18,5831	116,665	32,1788	117,256	45,1258	127,831	58,699	134,079
19,4722	118,844	32,7243	114,794	45,4427	122,39	59,0407	130,316
19,8208	123,205	32,7933	130,624	46,3461	129,182	59,3109	129,148
20,6594	109,789	33,1236	133,529	46,5863	127,344	59,8175	135,398
20,8651	118,634	34,0453	123,582	47,3429	124,694	60,3217	131,061
21,0348	110,347	34,9061	135,169	47,7225	117,103	61,2562	126,388

Изобразим эти точки в виде точечного графика с соответствующими координатами (, ); для этого надо найти размах выборки по X и Y и выбрать соответствующий масштаб. Сначала находим и , затем размах выборки по X , которая вычисляется по формуле и в результате равна 52,61062. Аналогично и , а размах выборки поY получим равный 35,511. Глядя на размах выборок по X и по Y , выбираем масштаб диаграммы рассеивания и строим её.

рис.1. Диаграмма рассеивания

По формуле где

можно найти коэффициент корреляции:

Он не равен нулю, следовательно, зависимость между X и Y существует.

Построение прямой y=ax+b, наименее отклоняющейся от точек (X_i ;Y_i )в среднем квадратичном

Для построения прямой y = ax + b , наименее отклоняющейся от точек в среднем квадратичном, необходимо методом наименьших квадратов определить числа a, b такие, что функция двух переменных принимает минимальное значение. Данная функция имеет вид:

Зная, что необходимым условием минимума функции является равенство нулю ее первых частных производных, имеем следующую систему для нахождения значений :

Данная система может быть представлена в виде:

где

В результате получим что:

Докажем теперь, что в точке функция имеет минимум. Достаточным условием существования экстремума функции двух переменных является следующее неравенство:

Для доказательства введем следующие обозначения:

Составим дискриминант . Тогда, если , то функция имеет в точке экстремум, а именно минимум при А>0 (или С>0). Из системы видно, что эти условия выполняются: = , С=200>0.