Лабораторная работа: Абсолютна та відносна похибка

и = ± х1 ± х2 ± ... ± хп .

Тоді похибка цієї алгебраїчної суми Дм буде складатися з алгебраїчної суми похибок доданків, тобто

∆и = ± ∆х1 ±∆ х2 ± ... ±∆ хп .

Звідси

|∆и| ≤ |∆х1| + |∆х2| + ... +|∆хп| . (5)

Наслідок. За граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми декількох наближених чисел можна прийняти суму граничних абсолютних похибок цих чисел, тобто

∆и = ∆х1 +∆ х2 + ... +∆ хп .

Теорема 2. Гранична відносна похибка суми декількох наближених чисел одного й того ж знака не перевищує найбільшу з граничних відносних похибок цих чисел.

Доведення. Нехай

и = + х1 + х2 + ... + хп ,

де для визначеності вважатимемо, що xi > 0 (i = 1, 2,..., п ). Позначимо

через Аi (і = 1, 2,..., п ) точні значення доданків xi , а через А – їх суму, тобто А = А1 + + А2 + ... + Ап . Тоді

δu=

Оскільки

відносний похибка наближений число

, то = ?? .

Тому

.

Нехай

max = . 1 ≤ i ≤ n

Тоді

тобто

= max 1 ≤ i ≤ n

2. Похибки різниці. Розглянемо різницю двох наближених чисел х1 та х2:

и = х1-х2

Тоді, на підставі наслідку з теореми 1,

∆и = ∆х1 +∆ х2 , δu=, (6)

де А – точне значення різниці х1-х2. 3 останньої формули випливає, що для близьких чисел х1 та х2 гранична відносна похибка буде досить велика. Тому в обчислювальних алгоритмах бажано уникати віднімання близьких чисел.