При выводе формулы линзы можно воспользоваться общим приемом, применив формулу (1) преломляющей поверхности поочередно к левой, а затем к правой границам раздела сред, имея в виду, что изображение, даваемое первой границей, можно рассматривать как источник для второй (рис.3). Наиболее просто эта задача решается для тонкой линзы, когда вершины S₁ и S₂ обеих поверхностей можно считать совпадающими друг с другом в точке S – оптическом центре линзы, от которого в тонких линзах отсчитываются все расстояния (а₁ , а₂ , а, R₁ , R₂ ). Нетрудно видеть, что, записав уравнение (1) для границ раздела (n₁ , n; R₁ ) и (n, n₁ ; R₂ ), сложив их, получим формулу линзы:

(3)

норм.

n₁

L C₂ S₁ S S₂ C₁ L¢ L₂

R₂ R₁

a₁ a₂

a

Рис. 3

где - относительный показатель преломления среды и материала линзы.

Подобно тому, как это сделано для преломляющей поверхности, получим фокусные расстояния для линзы

(4)

т.е. фокусы тонкой линзы лежат симметрично по обе стороны от нее, если слева и справа от линзы среда одна и та же. Пользуясь соотношением (4) формулу линзы (3) можно записать в виде (2). Фокусное расстояние линзы f, или величина ему обратная , называемая оптической силой, являются главными величинами, характеризующими линзу. Формула (3) показывает, что тонкая линза, как и преломляющая, дает стигматическое изображение, т.е. является системой идеальной.

До сих пор речь шла об изображении точки, взятой на главной оси (оптической). Изображение ее тоже лежит на главной оптической оси. Поэтому и фокусы F₁ и F₂ называются главными фокусами. В отличие от главных фокусов иногда говорят о побочных фокусах, когда источник и его изображение лежат на побочной оси (побочная ось – любая прямая, проходящая через оптический центр). В теории тонких линз считается, что побочные фокусы расположены в плоскостях, проходящих через главные фокусы перпендикулярно главной оптической оси.

Построение изображений. Увеличение. Установленные выше понятия главной и побочной оптических осей, главных и побочных фокусов позволяют просто находить изображения в сферических зеркалах и тонких линзах. Рассмотрим пример (рис. 4):

Л

А

Y

B F S F B¢

Y¢

Рис. 4

Задана линза, т.е. ее оптический центр S и фокусы. Для построения изображения точки А нужно взять расходящийся из этой точки пучок лучей. Возьмем его так, что один из лучей пойдет параллельно главной оптической оси, за линзой он пойдет через задний фокус. Другим лучом может быть луч, идущий через передний фокус, а за линзой делающийся параллельным главной оптической оси. Пересечение двух лучей в точке А¢ и будет изображением точки А. Вместо одного из этих лучей можно взять также побочную ось АSА¢. Так как изображение подобно предмету, то изображение точки В будет на главной оптической оси в плоскости, проходящей через А¢.

На практике является важным понятие поперечного увеличения V_^ , т.е. отношения величины изображения Y¢ к величине предмета Y. Из рисунка 4 видно, что

(5)

Напомним, что при выводе формулы тонкой линзы предполагалось, что светящаяся точка испускает узкий приосевой пучок лучей (параксиальный, близкий к главной оптической оси) и что показатель преломления вещества линзы n постоянен. В этих предположениях тонкая линза описывается формулой (3), из которой следует однозначная зависимость а₂ (а₁ ), т.е. стигматичность изображения; изображения предметов получаются геометрически подобными предмету. Однако, вышеуказанные допущения практически осуществить не удается хотя бы потому, что узкие параксиальные пучки несут мало света, светящиеся точки могут и не лежать вблизи главной оптической оси (а для объектов конечных размеров так будет всегда), вещество призмы обладает дисперсией, предметы имеют протяженность вдоль оптической оси. Все это приводит к астигматичности изображений в тонкой линзе: светящаяся точка изображается не точкой, а кружком рассеяния; поперечное увеличение также не остается постоянным - в целом изображение светящихся предметов получается геометрически не подобным предмету, а в белом свете еще и крашенным. Говорят, что линзы обладают аберрациями (погрешностями). Различают много видов аберраций, которые всегда, в общем, ухудшают качество изображений. Задачей практической оптики, с момента изобретения первых оптических инструментов (телескопа и микроскопа) является построение безаберрационных оптических систем. Комбинациями линз с различными оптическими свойствами и использованием диафрагм удается построить практически идеальные оптические системы.

Познакомимся с основными видами аберраций.

а) Сферическая аберрация – нарушает правильность изображения точек предмета, лежащих на оптической оси, при пользовании широким пучком лучей, т.е. при большом угле раскрытия линзы. Для исследования сферической аберрации можно взять удаленную точку S на оптической оси, т.е. рассмотреть параллельный (но широкий) пучок лучей, падающих на собирающую линзу (рис.5а).

2 2¢

1 1¢

1¢ S ₂ S ₁ 1

2¢ 2