Лабораторная работа: Кристаллографические символы
Цель работы : 1) Знакомство с системой обозначения граней и направлений;
2) Определение индексов граней и ребер кристаллов;
3) Решение некоторых типичных кристаллографических задач с использованием условия зональности.
Важнейшее значение в кристаллографии имеет вопрос об аналитической записи взаимного расположения граней и ребер кристалла в пространстве. С этой целью применяют кристаллографические символы, определяющие положение любой грани и ребра кристалла относительно принятых координатных осей.
Символы граней
Положение грани кристалла можно описать с помощью трех отрезков, отсекаемых этой гранью на координатных осях. Кристаллографическую систему характеризуют геометрические константы кристалл: осевые углы (a, b, g) и осевые единицы (a 0 , b 0 , c 0 ). Осевыми единицами называют отрезки a 0 , b 0 , c 0 , отсекаемые единичной гранью на координатных осях x , y , z соответственно. В соответствии с симметрией кристалла масштаб измерения отрезков, отсекаемых гранью на осях, определяется для каждой сингонии соотношением между осевыми единицами (табл. 1).
Таблица 1.
| Сингония | Угловые соотношения | Осевые единицы |
| Кубическая | a = b = g = 90° | a0 =b0 =c0 |
| Тетрагональная | a = b = g = 90° | a0 =b0 ¹ c0 |
| Ромбическая | a = b = g = 90° | a0 ¹ b0 ¹ c0 |
| Моноклинная | a = g = 90°¹b | a0 ¹ b0 ¹ c0 |
| Триклинная | a ¹ b ¹ g ¹ 90° | a0 ¹ b0 ¹ c0 |
| Гексагональная | a = b = 90°, g =120° | a0 =b0 ¹ c0 |
В методе параметров (метод Вейса) для определения грани используется тройка безразмерных векторов a , b , c , соответствующих отрезкам, отсекаемым гранью на координатных осях и измеренных с помощью осевых единиц a 0 , b 0 , c 0 (рис. 1) a = OA / a 0 , b = OB / b 0 , c = OC / c 0 .
Для выбора масштаба измерения, после установки кристалла, среди его наиболее развитых граней находят такую, которая пересекает все три оси. Отрезки, отсекаемые такой гранью кристалла, принимают за единичные, а саму грань - за единичную. Её параметры: (1:1:1). Чтобы определить параметры любой другой грани кристалла, необходимо найти соотношение отрезков, отсекаемых ею на координатных осях и отнесенных к соответствующим единичным отрезкам a 0 , b 0 , c 0 .
Такое обозначение граней с помощью параметров имеет один существенный недостаток: неудобство обозначения граней, параллельных координатным осям. Например, грань, параллельная плоскости XOY, запишется как (¥:¥:1), поскольку такая грань пересекает лишь ось Z. Между тем, грани параллельные координатным осям, представляют для кристаллографии особый интерес.
В методе индексов (метод Миллера) положение любой грани кристаллов в трехосной системе координат определяется тройкой целых, как правило, небольших, взаимно-простых чисел – индексовh , k , l , представляющих собой отношение обратных величин параметров. Тогда грань, параллельная плоскости XOYбудет иметь индексы h:k:l=1/¥:1/¥:1/1=0:0:1. Индексы грани заключают в круглые скобки, не разделяя их друг от друга никакими знаками. Следовательно, рассмотренная выше грань имеет символ (001).
В кристаллографической практике метод индексов Миллера получил широкое распространение. Следует иметь в виду, что параллельные грани имеют один и тот же символ, соответствующий грани ближайшей к началу координат.
Благодаря высокой симметрии кубических кристаллов, их индицирование (определение индексов всех граней) осуществляется достаточно просто. Единичная грань кубического кристалла должна составлять с координатными осями равные углы и отсекать на них равные отрезки. Легко видеть, что такой гранью может быть выбрана грань октаэдра или тетраэдра, через которую проходит поворотная ось третьего порядка.
 |
Символы ребер
Любое направление (ребро кристалла) в данной системе координат может быть задано: 1) двумя точками, лежащими на заданном направлении, не проходящим через начало координат; 2) одной точкой, если направление проходит через эту точку и начало координат.
Если осевые единицы единичной грани равны a 0 , b 0 , c 0 , а точки А (x 1, y 1 , z 1 ) и В (x 2, y 2 , z 2 ) лежат на заданном направлении, то проекции отрезка АВ будут равны:
(AB)x =x2 -x1 , (AB)y =y2 -y1 , (AB)z =z2 -z1 .
Тогда символ направления [rst] определится как
.
Таким образом, заданное направление определяется отношением трех проекций отрезка, лежащем на этом направлении, к соответствующим осевым единицам и выражается с помощью целых взаимно простых чисел r , s , t , записываемых в квадратных скобках [rst]. В случае, когда заданное направление проходит через точку А [[000]] начала координат и точку В [[xyz]] можно записать.
Из приведенного выше правила определения символов ребер следует, что если данный отрезок АВ или данное направление перемещать в пространстве параллельно самому себе, то его символ не изменится.
Заданное направление может быть определено и с помощью углов a , b , g , которые оно образует с координатными осями x , y , z . Для отрезка АВ, лежащего на заданном направлении, можно записать:
.
В кубических кристаллах:
.
Несложные геометрические рассмотрения показывают, что для кубических кристаллов отношение направляющих косинусов нормали к грани ( h k l ) пропорционально отношению индексов:
,
отсюда:
.
Таким образом, при индицировании направлений в кубических кристаллах следует помнить, что символы направления и перпендикулярной ему грани обозначаются одинаковыми индексами. Например, направление [111] перпендикулярно грани (111), а направление [110] – грани (110).
Основные кристаллографические соотношения
1. Угол между двумя направлениями .
Чтобы найти угол между двумя направлениями [r1 , s1 , t1 ], [r2 , s2 , t2 ] необходимо вспомнить одно из правил аналитической геометрии о нахождении скалярного произведения двух векторов 
.
.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--