Лабораторная работа: Математичні методи представлення знань

Похибка методу прямокутників дається формулою (2):

(2)

формула прямокутник лагранж функція

Похибка при цьому буде тим меншою, чим більше число n (тобто чим менший крок поділу). Зауважимо, що формули прямокутників дають точні результати для багаточленів першого степеня.

2. Формула трапецій.

Очевидно, що можна отримати більш точне значення інтеграла, якщо дану криву замінити не ступінчатою лінією, як це мало місце у формулі прямокутників, а вписаною ламаною (рис.2). Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями і заміниться площами трапецій, обмежених зверху хордами Оскільки площа

Рис.1 Рис.2

першої трапеції дорівнює другої – і т.д.,

то

або

(3)

Формула (3) називається формулою трапецій. Число n вибирається довільним, але чим більшим це число буде, а значить, крок меншим, тим з більшою точністю сума в правій частині наближеної рівності (3) буде давати значення інтегралу.

3. Формула парабол (Сімпсона).

Метод Сімпсона найпоширеніший і простіше застосовний для програмування. Його суть полягає в наближенні підінтегральної функції відрізками парабол.

Отже, розглянемо спочатку інтеграл , де – парабола; ,, – деякі параметри (або числа).

Тоді

Нехай тепер маємо інтеграл , де - неперервна на інтервалі функція. Якщо інтервал розбити на п рівних частинок , i=0,1,…n-1,, то заданий інтеграл І можна записати так:

Якщо на кожному з інтегралів для проміжків функцію замінимо параболами , що проходять через точки ,то одержимо

Через те, що, формула матиме вигляд:

або

(4)

Формула (4) називається формулою парабол або Сімпсона. Доведено, що похибка обчислень за формулою Сімпсона є такою:

(5)