Реферат: Аксиоматика теории множеств
Предложение 4. Пусть φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym) – формула, переменные которой берутся лишь из числа X1,…,Xn, Y1,…, Ym . Назовём такую формулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств (т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym)
Z
x1 …xn (
Z 
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только таких формул φ, которые не содержат подформул вида Yi W, так как всякая такая подформула может быть заменена на x (x = Yi & x W), что в свою очередь эквивалентно формуле x (z (z x z Yi) & x W). Можно также предполагать, что в φ не содержатся подформулы вида XX, которые могут быть заменены на u (u = X & u X), последнее же эквивалентно u (z (z u z X) & u X). Доказательство проведем теперь индукцией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу φ (записанную с ограниченными переменными для множеств).
1. Пусть k = 0. Формула φ имеет вид xi xj, или xj xi, или xi Yi, где 1 ≤ i < j ≤ n. В первом случае, по аксиоме В1, существует некоторый класс W1 такой, что
xixj (
W1 xi xj).
Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W2 такой, что
xixj (
W2 xj xi),
и тогда, в силу
XZ u v (
Z 
X),
существует класс W3 такой, что
xixj (W3 xj xi).
Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W3 такой, что
xixj (W φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Тогда, заменив в
XZ v1…vkuw (
Z 
X)
X на W, получим, что существует некоторый класс Z1 такой, что
x1… xi-1xixj (
Z1 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Далее, на основании
XZ v1…vmx1…xn (
ZX)
там же при Z1 = X, заключаем, что существует класс Z2 такой, что
x1 … xi xi+1 … xj (
Z2 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Наконец, применяя
XZ v1…vmx1…xn (
Z X)
(1)
там же при Z2 = Х, получаем, что существует класс Z такой, что
x1…xn ( Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Для остающегося случая xi Yi теорема следует из (1) и
XZ x v1…vm (
Z x X).