Реферат: Алгебра матриц

Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам i-ой строки матрицы А стоят в i-ом столбце матрицы А^* , для .

Найдем произведения матриц АА^* и А^* А. Обозначим АА^* через С, тогда по определению произведения матриц имеем: С_ij = а_{i 1} А _{1 j} + а_{i 2} А _{2 j} + … + а_in А_nj ; i = 1, n: j = 1, n.

При i = j получим сумму произведений элементов i - ой строки на алгебраические дополнения этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом С_ij = |А| = D - это элементы главной диагонали матрицы С. При ij, т.е. для элементов С_ij вне главной диагонали матрицы С, имеем сумму произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки, такая сумма равняется нулю. Итак, = АА^*

Аналогично доказывается, что произведение А на А^* равно той же матрице С. Таким образом, имеем А^* А = АА^* = С. Отсюда следует, что

Поэтому, если в качестве обратной матрицы взять , то Итак, обратная матрица существует и имеет вид:

.

Пример. Найдем матрицу, обратную к данной:

Находим D = |А| = -1 ¹ 0, А существует. Далее находим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

А = = 0 ; А = = -1; А = = 3;

А = = -3; А = = 3; А = = -4;

А = = 1; А = = -1; А = = 1;

А =