Реферат: Антье и ее окружение
ê
ë
r +a
n
ù
ú
û
Теперь, познакомившись с целой и дробной частью, можно рассмотреть следующий
Пример 1. Доказать, что для всех вещественных a и b выполняется неравенство
|
Решение.
Пусть [a+b] = [a]+[b]+e3 ; [2a] = 2[a]+e1 ; [2b] = 2[b]+e2 ; где ei - целое. Покажем, что e3 равно 0 или 1. Имеет место неравенство
|
Отсюда получаем, что -1 < e3 < 2, откуда e3 = 0 или e3 = 1, то же верно для e1 , e2 . Рассмотрим разность
|
Осталось показать, что e1 +e2 -e3 і 0, ei = 0 или 1. Это неравенство может быть нарушено только при e1 = e2 = 0 и e3 = 1. Покажем, что это невозможно. Если e1 = 0 то [2a] = 2[a], т.е. a = N+d, где N - целое, а 0 Ј d < 0,5, аналогично, b = K+l, где K - целое, а 0 Ј l < 0,5, но тогда [a+b] = N+K = [a]+[b], т.е.e3 = 0. Мы пришли к противоречию, следовательно [a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b], что и требовалось доказать.
Пример 2. Найдите
|
Решение
Число Nn = (2+Ц2)n +(2-Ц2)n является целым при любом натуральном n. Поэтому
|
так как {-z} = 1-{z}, если z - не целое число, и |2-Ц2| < 1.
Пример 3. Найдите [x], если x=1+(1/2)2 +(1/3)2 +...+(1/1997)2 .
Решение
Для любого натурального числа n і 2 справедлива оценка
|