Реферат: Антье и ее окружение

ê

ë

r +a

n

ù

ú

û

Теперь, познакомившись с целой и дробной частью, можно рассмотреть следующий

Пример 1. Доказать, что для всех вещественных a и b выполняется неравенство

Решение.

Пусть [a+b] = [a]+[b]+e₃ ; [2a] = 2[a]+e₁ ; [2b] = 2[b]+e₂ ; где e_i - целое. Покажем, что e₃ равно 0 или 1. Имеет место неравенство

Отсюда получаем, что -1 < e₃ < 2, откуда e₃ = 0 или e₃ = 1, то же верно для e₁ , e₂ . Рассмотрим разность

Осталось показать, что e₁ +e₂ -e₃ і 0, e_i = 0 или 1. Это неравенство может быть нарушено только при e₁ = e₂ = 0 и e₃ = 1. Покажем, что это невозможно. Если e₁ = 0 то [2a] = 2[a], т.е. a = N+d, где N - целое, а 0 Ј d < 0,5, аналогично, b = K+l, где K - целое, а 0 Ј l < 0,5, но тогда [a+b] = N+K = [a]+[b], т.е.e₃ = 0. Мы пришли к противоречию, следовательно [a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b], что и требовалось доказать.

Пример 2. Найдите

Решение

Число N_n = (2+Ц2)ⁿ +(2-Ц2)ⁿ является целым при любом натуральном n. Поэтому

так как {-z} = 1-{z}, если z - не целое число, и |2-Ц2| < 1.

Пример 3. Найдите [x], если x=1+(1/2)² +(1/3)² +...+(1/1997)² .

Решение

Для любого натурального числа n і 2 справедлива оценка