Реферат: Антье и ее окружение

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

.

Применим эту оценку ко всем слагаемым числа x, начиная со второго:

x < 1+ æ ç è 1- 1 2 ö ÷ ø + æ ç è 1 2 - 1 3 ö ÷ ø +...+ æ ç è 1 1996 - 1 1997 ö ÷ ø = 2- 1 1997 < 2.

Так как 1 < x < 2, то [x] = 1.

Графики антье

Наверно вы уже где-нибудь встречали графики функции y=[x], так называемые "ступени", и y={x} - "забор"; оба графика приведены на рисунках ниже.

<>

<>

Рассмотрим общий метод построения графиков функций y=[f(x)], y=f([x]), y={f(x)}, y=f({x}).

Построение графика функции y=[f(x)].

Итак, пусть график функции y=f(x) построен (рисунок ниже слева черным цветом). Построение графика функции y=[f(x)] выполняют в следующем порядке:

<>

<>

1) проводят прямые y= n (n ОZ) и рассматривают одну из полос, образованных прямыми y=n и y=n+1;

2) точки пересечения прямых y=n, y=n+1 с графиком функции y=f(x) будут принадлежать графику функции y=[f(x)], поскольку их ординаты - целые числа; другие точки графика y=[f(x)] в рассматриваемой полосе получим как проекцию части графика y=f(x) на прямую y=n, поскольку любая точка этой части графика функции y=f(x) имеет такую ординату y₁ , что n Ј y₁ < n+1, т.е. [y₁ ] = n;

3) в каждой другой полосе, где есть точки графика функции y=f(x), построение проводится аналогично.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа (График функции y=[arcsin x] выделен красным цветом).

Построение графика фунции y=f([x]).

Пусть график функции y=f(x) построен (рисунок слева ниже черным цветом). Построение графика функции y=f([x]) выполняют в следующем порядке:

<>

<>

1) проводят прямые x=n (n ОZ) и рассматривают одну из полос, образованную линиями x=n, x=n+1;

2) точки пересечения графика функции y=f(x) с прямыми y=n принадлежат графику функции y=f([x]), поскольку их абсциссы - целые числа; другие точки графика функции y=f([x]) в рассматриваемой полосе получим как проекцию части графика функции y=f(x), которая находится в этой полосе, на прямую y=f(n), поскольку любая точка этой части графика имеет такую абсциссу x₁ , что n Ј x₁ < n+1, т.е. [x₁ ]=n;

3) в каждой другой полосе, где есть точки графика функции y=f(x), построение производится аналогично.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа (График функции y=[ax]² выделен красным цветом).

Построение графика фунции y={f(x)}.

Теперь рассмотрим метод построения графика функции y={f(x)}, а так как {f(x)}=f(x)-[f(x)], то вместо графика функции {f(x)} строят разность графиков функций y = f(x) и y = [f(x)]. График на левом рисунке выделен красным цветом.

<>

Практически это построение выполняют так: 1) строят график функции y=f(x) и проводят прямые y=n (n ОZ);

2) в точках пересечения этих прямых с графиком функции y=f(x) проводят прямые, параллельные оси ординат. Значения функции y={f(x)} попадают в образованные прямоугольники. Части графика функции y = f(x), которые попали в эти прямоугольники и располагаются в верхней полуплоскости, опускают вниз на расстояние n. Части графика функции, попавшие в нижнюю полуплоскость переносят вверх на расстояние |n|+1.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа. (График функции y={a^x } выделен красным цветом).

Построение графика фунции y=f({x}).

Проще всего строятся графики функции y=f({x}). Легко заметить, что такие функции периодичны с периодом T=1, и на отрезке [0; 1] f({x})=f(x). Отсюда следует способ построения графика функции y=f({x}):

1) строят график функции y=f(x) на [0; 1);

2) продолжают этот график, учитывая свойство периодичности функции y=f({x}) и y=1/x² .

<>