Реферат: Аппроксимация функций

Одно из условий согласования можно записать как

S = (f_i -y_i )  min ,

т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=x_i должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается.

Использование критерияS = |f_i -y_i |  min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума.

Учитывая вышеизложенное, используют критерийнаименьших квадратов , т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которой
S = (f_i -y_i )² , (1)

обращается в минимум.

В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен

f(x)=C₀ +C₁ X+C₂ X² +...+C_M X^M . (2)

Формула (1) примет вид S = ( C₀ +C₁ X_i +C₂ X_i ² +...+C_M X_i ^M - Y_i ) ²

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С_0, С₁ ,...С_М :

S_C0 = 2 ( C₀ +C₁ X_i +C₂ X_i ² +...+C_M X_i ^M - Y_i ) = 0 ,

S_C1 = 2 ( C₀ +C₁ X_i +C₂ X_i ² +...+C_M X_i ^M - y_i ) X_i = 0 , (3)

S_CM = 2 ( C₀ +C₁ X_i +C₂ X_i ² +...+C_M X_i ^M - Y_i ) X_i ^M = 0 ,

Тогда из (3) можно получитьсистему нормальных уравнений

C₀ (N+1) + C₁ X_i +C₂ X_i ² +...+ C_M X_i ^M = Y_i ,

C₀ X_i +C₁ X_i ² +C₂ X_i ³ +...+ C_M X_i ^M+1 = Y_i X_i , (4)

C₀ X_i ^M +C₁ X_i ^M+1 +C₂ X_i ^M+2 +...+ C_M X_i ^2M = Y_i X_i ^M .

Для определения коэффициентов С_i и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.

(N+1)	Xi	Xi 2	...	Xi M	Yi
Xi	Xi 2	Xi 3	...	Xi M+1	Yi Xi
...	...	...	...	...	...
Xi M	Xi M+1	Xi M+2	...	Xi 2M	Yi Xi M

Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического присвоения.

Задание

Найти коэффициенты прямой и определить значение функции y{-6.56,-3.77, -1.84,0.1,2.29,4.31,5.56,8.82,11.33,11.27}, x0=1.3 h=4.1, и определить интеграл заданной функции.

Программа

¦CLS

¦XC = 10: X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10

¦DIM Y(9): DIM X(9)

¦DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27

¦FOR I = 0 TO N - 1

¦X = X0 + H * I:

¦X(I) = X

¦READ Y(I)