Реферат: Автоматизация учета исполнения бюджета Краснодарского края
где i = m+1,m+2 …
Преимущество данной модели заключается в том, что она является прогнозной и, основываясь на данных, полученных в ходе тестирования, дает возможность предсказать вероятность безотказной работы программы на последующих этапах её выполнения.
4.1.3 Модель переходных вероятностей
Эта модель основана на марковском процессе, протекающем в дискретной системе с непрерывным временем.
Процесс, протекающий в системе, называется марковским (или процессом без последствий), если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящее время (t0) и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние. Процесс тестирования АСОД рассматривается как марковский процесс.
В начальный момент времени тестирования ( t = 0 ) в АСОД было n ошибок. Предлагается, что в процессе тестирования выявляется по одной ошибке. Тогда последовательность состояний системы, { n, n-1,n-2,n-3 } и т.д. соответствует периодам времени, когда предыдущая ошибка уже исправлена, а новая еще не обнаружена. Например, в состоянии n-5 пятая ошибка уже исправлена, а шестая еще не обнаружена.
Последовательность состояний { m, m-1,m-2,m-3 и т.д.} соответствует периодам времени, когда ошибки исправляются. Например, в состоянии m-1 вторая ошибка уже обнаружена, но еще не исправлена. Ошибки обнаруживаются с интенсивностью , а исправляются с интенсивностью
Предположим, в какой-то момент времени процесс тестирования остановился. Совокупность возможных состояний системы будет :
S = { n, m, n-1, m-1, n-2,m-2, . . . }.
Система может переходить из одного состояния в другое с определенной вероятностью Pij. Время перехода системы из одного состояния в другое бесконечно мало.
Вероятность перехода из состояния n-k в состояние m-k есть n-kt для k = 0,1,2, . . . . Соответственно вероятность перехода из состояния m-k в состояние n-k-1 будет m – nt для k = 0,1,2 . . . . .
Общая схема модели представлена на рисунке 5.1. Если считать, что 1 и 1 зависят от текущего состояния системы, то можно составить матрицу переходных вероятностей.
Пусть S
’(t) – случайная переменная, которой обозначено состояние системы в момент времени t.
В любой момент времени система может находиться в двух возможных состояниях: работоспособном либо неработоспособном ( момент исправления очередной ошибки ).
Вероятность нахождения системы в том или ином состоянии определяется как
Готовность системы определяется как сумма вероятностей нахождения её в работоспособном состоянии :
Под готовностью системы к моменту времени t понимается вероятность того, что система находиться в рабочем состоянии во время t.
Надежность системы после t времени отладки, за которое уже выявлено К ошибок, т.е. система находиться в состоянии n-k ( К-я ошибка исправлена, а (К+1)-я ещё не обнаружена ), может быть определена из состояния :
где - интервал времени, когда может появиться ( К+1)-я;
ошибка K - принятая интенсивность проявления ошибок.
Рассмотрим решение модели для случая, когда интенсивность появления ошибок и интенсивность их исправления - постоянные величины. Составляем систему дифференциальных уравнений :
Начальными условиями для решения системы могут являться:
При имеющихся начальных условиях система уравнений может быть решена классически или с использованием преобразований Лапласа.
В результате решения определяются Pn-k и Pm – k для случая, когда и константы.
Для общего случая отбросим ограничения постоянства интенсивностей появления ошибок и предположим, что
