Реферат: Байесова схема принятия коллективных решений в условиях противоречий

и решение в пользу V2 в противном случае.

По формуле Байеса имеем

,

.

Очевидно, что неравенство (4) имеет место в том и только в том случае , когда

P(V1)P(S12 / V1) > P(V2)P(S12 / V2) . (5)

По определению условная вероятность P(S12 / V1) есть ни что иное как вероятность того, что в ситуации, когда имеет место класс V1 , эксперт A2 принял правильное решение, а эксперт A1 ошибся. Поскольку мы предполагаем, что решения экспертов независимы, то по формуле произведения вероятностей

P(S12/V1) = [1-P(A1)]P(A2). (6)

Аналогичным образом

P(S12/V2 ) = P(A1)[1-P(A2)]. (7)

Неравенство (5) с учетом (6), (7), можно представить в виде:

P(V1)[1- P(A1) P(A2) > P(V2) P(A1) [1-P(A2)]. (8)

Из (8) вытекает, что в ситуации S12, когда решения экспертов противоречивы, объект Z следует относить к классу V1 в том и только том случае, когда

, (9)

где λ = P(V2)/P(V1) – отношение априорных вероятностей классов.

Если же выполняется соотношение

, (10)

то в ситуации S12 объект Z следует относить к классу V2

Для иллюстрации на рис. 1 показаны границы областей решений, построенные для ситуации S12 согласно условиям (9), (10) при различных значениях λ. Область решения в пользу класса V1 расположена выше соответствующей границы, а решений в пользу класса V2 – ниже соответствующей границы.

Рис. 1. Области решений для ситуации S12

1: λ = 9; 2: λ = 4; 3: λ =2.33; 4: λ =1.5; 5: λ = 1; 6: λ = 0.67;

7: λ = 0.43; 8: λ = 0.25; 9: λ = 0.11.

Аналогичным образом легко показать, что в ситуации S21 решение в пользу класса V1 следует принимать в том случае, когда

, (11)

а решение в пользу класса V2, когда

. (12)

Заметим, что из (9)-(12) непосредственно следует, что только при равновероятных классах, когда λ =1, окончательное решение совпадает с решением того из экспертов, который имеет меньшую вероятность ошибки.

В остальных же случаях, когда λ 1, т.е. окончательное решение определяется не только соотношением вероятностей ошибок экспертов, но и соотношением априорных вероятностей классов. При этом окончательное решение может не совпадать с решением более “квалифицированного” эксперта.