Реферат: Байесова схема принятия коллективных решений в условиях противоречий

Легко видно, что , а значит вероятность ошибки первого эксперта не зависит от класса, т.е. P(A1)=P(A1/V1)=P(A1/V2) =0.05.

Для определения вероятности ошибочных решений эксперта A2 найдем апостериорные вероятности классов при возможных значениях признака x2:

= ,

= ,

= ,

= .

Поскольку , а , то эксперт A2 классифицирует объект Z по признаку x2 следующим образом

δ2(Z) = (16)

При этом вероятность ошибки эксперта A2 составляет P(A2)=0.08, причем эта вероятность также не зависит от класса, т.е. P(A2)= P(A2/V1) = P(A2/V2).

Как видно из таблиц 1 и 2 признаки x1 и x2 статистически независимы в обоих классах, поскольку для любых их значений справедливо соотношение p(x1,x2/Vk) = p(x1/Vk)p(x2/Vk) при k =1,2. Отсюда непосредственно следует, что решения (15),(16) экспертов будут независимыми.

Предположим, что в момент принятия решений признаки получили следующие значения , а . В этом случае, согласно (15), (16), δ1(Z) = 1 и δ2(Z) = 2, т.е. требуется принять окончательное решение в условиях противоречивой ситуации S12. Поскольку априорные вероятности классов и найденные вероятности ошибок экспертов имеют такие же значения, как в первой части рассмотренного выше примера, то, согласно предложенной схеме, окончательное решение следует принимать в пользу V2.

Покажем, что такое решение совпадает с оптимальным решением, основанным на результатах измерения совокупности двух признаков по формальному правилу максимуму апостериорных вероятностей классов и . По формуле Байеса определим эти вероятности при и :

= (17)

и

=. (18)

Сравнение (13),(14) с (17),(18) позволяет заключить, что для k =1,2. Нетрудно убедиться в том, что аналогичные равенства имеют место и при других возможных значениях признаков.

Следовательно, если эксперты принимают независимые решения, причем P(Ai/V1)=P(Ai/V2) при i =1, 2, то предлагаемая схема эквивалентна оптимальной, обеспечивающей минимум средней вероятности ошибочной классификации по совокупности двух независимых признаков в классах.

В условиях данного примера средняя вероятность ошибочных решений, принимаемых по результатам классификации двух экспертов, составляет 0.0406. Заметим, что эта величина меньше вероятности ошибки каждого из экспертов.

Решающее правило 2.

Предложенную схему легко можно обобщить на случай, когда вероятности ошибок экспертов зависят от классов. Такое обобщение актуально для решения практических задач, в частности, задач медицинской диагностики.

Пусть требуется отнести обследуемого пациента Z к одному из двух классов: V1 – болен, V2 – здоров. При этом будем считать известными априорные вероятности P(V1), P(V2), и ставить окончательный диагноз на основании информации, полученной от двух экспертов A1, A2, которые производят независимое обследование пациента по различным методикам.

Будем, как это принято в медицинской практике [23], оценивать “квалификацию” каждого из экспертов двумя величинами: чувствительностью Qi = 1- P(Ai /V1), где вероятность P(Ai /V1) ошибочного отнесения больного пациента к здоровому, и специфичностью Wi = 1- P(Ai /V2), где вероятность P(Ai /V2) ошибочного отнесения здорового пациента к больному (В теории распознавания вероятности P(Ai /V1) и P(Ai /V2) принято называть вероятностями ошибок первого и второго рода, или, что то же самое , вероятностями ошибок пропуска цели и ложной тревоги [24].).

Тогда в ситуации S12 , когда A1 признал Z больным, а A2 признал Z здоровым, окончательный диагноз следует ставить согласно схеме:

(19)

где λ = P(V2)/P(V1) – отношение априорных вероятностей здоровых и больных пациентов.

Решающее правило 3.

Предположим теперь, что N >2 экспертов проводят независимое обследования пациента Z, в результате которых относят его к классу V1 (болен) или к классу V2 (здоров). Будем считать, что известны априорные вероятности P(V1) и P(V2), чувствительности Q1, …, QN и специфичности W1,…,WN каждого из экспертов.

Пусть в результате обследования получена комбинация S решений экспертов. Обозначим I1 - множество номеров экспертов, которые приняли решение в пользу класса V1, т.е. признали Z больным, а I2 - множество номеров экспертов, которые признали пациента здоровым. Очевидно, что I1  I2 = ; I1  I2 ={1,...,N}.

Тогда в ситуации S будем считать, что Z болен, если