Реферат: Барицентрические координаты

Выберем на плоскости произвольный треугольник АВС (рис. 8), который в дальнейшем назовем координатным , или базисным треугольником Мебиуса. Пусть р ¹ 0 и (Р, р) ¾ произвольная материальная точка, лежащая в плоскости этого треугольника. Тогда возможно подобрать для точек А , В , С такие массы а , b , с (не обязательно положительные), чтобы объединением трех материальных точек (А, а) , (В, b ) и (С, с) служила точка (Р, р) . Это можно себе представить следующим образом.

Ясно, что не может быть одновременно РА ½½ ВС, РВ ½½ СА, РС ½½ АВ . Пусть, для определённости, РА и ВС не параллельны. Соединим Р с А и отметим точку А₁ , в которой АР встречает прямую ВС . Подберём три действительных числа а , b, c так, чтобы

b × BA ₁ = c × A₁ C ,

a × AP = (b + c) × PA₁ ,

a + b + c = p.

Это всегда возможно сделать. Тогда

( P, p) = (A, a) + (B, b) + (C, c).

Обратно, если возьмём три произвольных действительных числа a, b, c , причём a + b + c ¹ 0 , то существует вполне определённая материальная точка (Р, р) такая, что (Р, р) = ( A, a) + (B, b) + (C, c) .

Таким образом, каждую материальную точку Р º(Р, р) на плоскости можно вполне охарактеризовать тремя числами, а именно тремя массами a, b и с , которые надо поместить в вершинах базисного треугольника, чтобы точка Р оказалась объединением трёх образующихся при этом материальных точек ( A, a), (B, b) и (C, c) . Эти три числа называют барицентрическими координатами материальной точки Р («барицентр» означает «центр тяжести»): а — первая барицентрическая координата, b — вторая, с — третья. Понятно, что те же три числа a, b, c определяют также положение носителя материальной точки Р . Поэтому эти три числа называют также барицентрическими координатами (геометрической) точки Р .

Таким образом, выражение «барицентрическими координатами точки Р служат числа a, b, c » означает только то, что имеет место равенство

( A, a) + (B, b) + (C, c) = (P, p),

где

p = a + b + c.

Если массы трёх материальных точек увеличить (или уменьшить) в одно и то же число раз, то от этого положение их центра тяжести не изменится. Поэтому барицентрическими координатами геометрической точки Р будут также числа k × a, k × b, k × c, где k — любое действительное число, не равное нулю.

Итак, геометрическая точка Р (в отличие от материальной точки Р ) имеет бесконечно много троек барицентрических координат, причём каждая из этих троек может быть получена из какой-либо одной тройки (a, b, c ) путём умножения на какую-либо константу k , отличную от нуля.

Если точка Р находится внутри координатного треугольника, то все три её барицентрические координаты одного знака (их можно считать положительными). Если точка Р — на какой-либо стороне координатного треугольника или на её продолжении, то хотя бы одна барицентрическая координата этой точки равна нулю. В остальных случаях две координаты точки Р — одного знака, а третья имеет противоположный знак.

Если точка Р расположена внутри базисного треугольника ABC , то в качестве её барицентрических координат можно принять площади треугольников BPC, CPA и APB .

Применение барицентрических координат позволяет внести одно существенное упрощение в рассуждения, связанное с рассмотрением материальных точек : рассмотрение любых произвольно расположенных материальных точек в любом числе сводится к рассмотрению только таких материальных точек, которые имеют носителями вершины базисного треугольника.