Реферат: Бесконечные антагонистические игры

Таким образом, если М(х, y) непрерывна и выпукла по y, то цена игры определяется по формуле (1), и игрок 2 имеет оптимальную чистую стратегию, определяемую из уравнения (2).

Аналогично и для игрока 1: если функция выигрышей М(х, y) непрерывна по обоим аргументам и строго вогнута по х при любом y, то в этом случае игрок 1 имеет единственную оптимальную стратегию.

Цена игры определяется по формуле

V = M(x,y),

а чистая оптимальная стратегия х_o игрока 1 определяется из уравнения

M(x_o , y) = V.

Пример. Пусть на квадрате [0;1] задана функция

М(х, y) = .

Так как

для xÎ[0; 1], yÎ(0;1),

то М(х, y) строго вогнута по х для любого yÎ(0;1). Следовательно, цена игры находится по формуле (3)

V = .

Отметим, что при 0 £ х £ справедливо равенство

=

а при 0,5 < х £ 1

=

Поэтому

V = max [; ] =

= max [; ] =

= max [;] = .

При этом значение х получается равным х_o = . Это же значение получается из решения уравнения

= ,

т.к. минимум достигается при y = 0, и это уравнение превращается в следующее

= ,

откуда следует, что х = .

Заметим, что если в функции выигрышей (5) поменять местами х и y, то она не изменится, а следовательно, эта функция выпукла и по y при всех х Î[0;1]. Поэтому к ней применима та же теория, т.е. у игрока 2 существует оптимальная чистая стратегия y_o , определяемая из уравнения (4)

=

Очевидно, максимум по х достигается при х = , и последнее уравнение примет вид

= .