Реферат: Биография и труды Колмогорова А.Н.

— имеет вид ( * ).

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.

2.8 Колмогоровы теоремы

Колмогоровы теоремы:

1. Теорема о нормированных пространствах (1934);

2. Теорема о применимости больших чисел закона (1928);

3. Теорема о применимости больших чисел усиленного закона (1930, 1933).

2.8.1 Теорема о нормированных пространствах

Нормированное пространство – векторное пространство X, наделенное нормой ||x||, xX. Норма индуцирует на Х метрику ρ(x, y) = ||x-y|| и, следовательно, топологию, совместимую с этой метрикой. Полные относительно указанной метрики пространства называются банаховыми пространствами. Нормированное пространство тогда и только тогда является гильбертовым, когда

||x+y|| + ||x-y|| = 2*||x||² + 2*||y||² для x, yX.

Отделимое топологическое векторное пространство нормируемо, если его топология совместима с некоторой нормой. Нормируемость равносильна существованию выпуклой ограниченной окрестности нуля.

2.8.2 Теорема о применимости больших чисел закона

Данная теорема Колмогорова дает ответ на вопрос: при каких условиях суммы Y_n предельно постоянны?

Не ограничивая общности, можно предположить, что медианы величин Х_{n , k} равны нулю; пусть Х_{n , k} = Х_{n , k} при | Х_{n , k} |≤1 и Х_{n , k} = 0 при | Х_{n , k} |>1, тогда одновременное выполнение двух условий

при

и

при

Необходимо и достаточно для предельного постоянства сумм Y_n . В качестве С_n можно взять . Если математические ожидания существуют, то легко указать дополнительные условия, при которых можно выбрать С_n = EY_n , что приводит к необходимым и достаточным условиям больших чисел закона в классической формулировке, т.е.

.

Для последовательности независимых одинаково распределенных величин {X_n } эти условия сводятся, в соответствии с теоремой Хинчина, к существованию математического ожидания. В то же время для предельного постоянства средних арифметических Y_n в этом случае необходимо и достаточно условие при .

2.8.3 Теорема о применимости больших чисел усиленного закона

В случае независимых слагаемых наиболее известными являются условия приложимости больших чисел усиленного закона, установленные А.Н.Колмогоровым: достаточное (1930) – для величин с конечными дисперсиями и необходимое и достаточное (1933) – для одинаково распределенных величин (закрепляющееся в существовании математического ожидания величин X_i ). Теорема Колмогорова для случайных величин X₁ , X₂ , …, X_n , …с конечными дисперсиями утверждает, что из условия

вытекает приложимость к последовательности X₁ , X₂ , …, X_n , … больших чисел усиленного закона

.

В терминах дисперсий условие

оказывается наилучшим в том смысле, что для любой последовательности положительных чисел b_n с расходящимся рядом

можно построить последовательность независимых случайных величин X_n с DX_n = b_n , не удовлетворяющую больших чисел усиленному закону. Область применения условия

может быть расширена на основе следующего замечания. Пусть mX_n – медиана X_n . Сходимость ряда