Реферат: Деформация сдвига. Геометрические характеристики плоских сечений. Кручение стержней с круглым поперечным сечением

Для кольца моменты инерции равны разности моментов инерции внешнего и внутреннего кругов с диаметрами соответственно d и d ₁ .

Тогда

I_ρ ≈ 0,1 (d⁴ – d₁ ⁴ ), (19)

I_y ≈ I_z ≈ 0,05 (d⁴ – d₁ ⁴ ). (20)

КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ С КРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ

Понятие о крутящем моменте

Деформация кручения происходит при действии на стержень внешних пар сил, плоскости действия которых перпендикулярны оси стержня. При этом в поперечных сечениях стержня возникает только одна составляющая внутренних сил – крутящий момент Т . С явлением кручения встречаются при расчете валов, винтовых пружин и других элементов конструкций.

Если прямые незакрепленные стержни, подвергающиеся деформации кручения, равномерно вращаются или находятся в покое, алгебраическая сумма всех внешних скручивающих (вращающих) моментов Т_е равна нулю.

Вращающиеся и испытывающие деформацию кручения стержни называют валами . При расчете валов величины скручивающих моментов можно определить по передаваемой мощности и скорости вращения вала из выражения

T_e = P/ω = 30P/πn = 9,55 P/n |Нм|, (21)

где Р – мощность, передаваемая валом, Вт; n – угловая скорость вала в оборотах за минуту; ω – угловая скорость в рад/с.

На основании метода сечений крутящий момент Т в произвольном поперечном сечении стержня численно равен алгебраической сумме внешних Т_е скручивающих моментов, действующих на стержень по одну сторону от рассматриваемого сечения . Когда к валу приложено несколько внешних Т_е скручивающих моментов, крутящие моменты в сечениях различных участков будут разными. Для наглядности распределения Т по длине скручиваемого стержня и для нахождения опасного сечения с наибольшим крутящим моментом Т _max строят эпюры (графики) крутящих моментов .

При построении эпюры Т проводят ось, параллельную оси стержня. Каждая ордината эпюры в принятом масштабе равна величине крутящего момента, действующего в том сечении, которому соответствует ордината. При расчетах на прочность и жесткость знак T не играет никакой роли, но для удобства построения эпюр будем считать крутящий момент Т положительным, если при взгляде в торец отсеченной части стержня этот момент представляется направленным против хода часовой стрелки. Положительные по знаку крутящие моменты откладывают на эпюре выше оси, отрицательные – ниже.

На рис. 5, б представлена эпюра крутящих моментов Т для схемы нагружения вала тремя внешними моментами Т_е (рис. 5, а). Отметим, что в сечениях, где приложен внешний скручивающий момент Т_е , ордината эпюры Т меняется скачком на величину, равную значению этого момента. Как видно из рис. 5, б, максимальный крутящий момент (T_max = 10 Нм) не всегда равен наибольшему моменту внешних сил (T_{e max} = 15 Нм).

Те2 = 15Нм

б

а

Рис. 5

Определение напряжений при кручении стержней с круглым поперечным сечением

Рассмотрим стержень с круглым поперечным сечением (рис. 6, а), один конец которого закреплен, а другой нагружен парой сил с моментом Т_е . В результате действия момента внешних сил Т_е возникает деформация кручения. Наблюдая при кручении характер искажения прямоугольников координатной сетки, нанесенной на боковой поверхности круглого стержня, обнаружили: прямоугольная сетка превратится в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечных, а с учетом закона парности касательных напряжений и в продольных сечениях; контуры поперечных сечений в процессе деформации остаются плоскими, расстояния между ними не изменяются, а первоначальные прямолинейные образующие, нанесенные на боковую поверхность, превращаются в винтовые линии; диаметры торцового сечения повернутся на некоторый угол φ относительно своего начального положения, оставаясь прямой линией. Эти наблюдения позволили составить представление о механизме деформации кручения. Постоянство длины и диаметра деформируемого стержня свидетельствует об отсутствии нормальных напряжений в поперечных и продольных сечениях. Так как в поперечных и в продольных сечениях действуют только касательные напряжения, напряженное состояние в точках скручиваемого стержня представляет собой чистый сдвиг. Поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются вокруг оси стержня относительно друг друга на некоторый угол, сохраняя длину и прямолинейность своих радиусов.

Выделим двумя поперечными сечениями элемент (рис. 6. б) скручиваемого стержня длиной dx . В результате деформации одно сечение повернется относительно другого на угол dφ . Будем считать левое сечение элемента dx неподвижно закрепленным. Тогда dφ – угол поворота правого торцового сечения вокруг продольной оси. Образующую АВОО₁ можно представить как параллелепипед длиной dx с бесконечно малыми основаниями АО₁ и ВО. В результате деформации этот параллелепипед займет положение АВ'ОО₁ . Величина ВВ' = γdx = ρdφ представляет собой абсолютный сдвиг грани В на поверхности стержня относительно грани А в направлении, перпендикулярном радиусу стержня. Величина абсолютного сдвига точек основания ОВ параллелепипеда зависит от их расстояния ρ до оси стержня. Сдвиг равен нулю на оси стержня и максимален, т.е. равен ВВ' на поверхности. Угол сдвига соответственно будет равен

γ = (dφ/dx)ρ, (22)

где dφ/dx – относительный угол закручивания. На основании закона Гука для сдвига можно записать

τ_ρ = G·γ = G(dφ/dx)ρ, (23)

где G – модуль упругости материала стержня при сдвиге.

в

б

Эпюра τ

а

Te

Рис. 6

Величина касательных напряжений в каждой точке сечения прямо пропорциональна расстоянию ρ от точки до центра масс сечения. На оси стержня при ρ = 0; напряжение τ = 0; в точках, расположенных в непосредственной близости от поверхности стержня напряжения максимальны. Эпюра изменения τ_ρ вдоль диаметра сечения показана на рис. 5.18, в. Так как величина относительного угла закручивания dφ/dx неизвестна, зависимостью (5.47) для определения касательных напряжений в сечении не пользуются.

Элементарная внутренняя сила, действующая в плоскости сечения на площадку dA с напряжением τ_ρ равна dQ = τ_ρ ·dA. Элементарный момент внутренних сил, действующий в плоскости сечения, т.е. элементарный крутящий момент, создаваемый силой dQ относительно центра сечения dT = ρdQ. Сумма этих моментов внутренних сил по всей площади поперечного сечения стержня равна крутящему моменту

.

Так как G = const и dφ/dx = const, то

, (24)

где I_p – полярный момент инерции сечения.

Выразим величину угла закручивания, отнесенного к единице длины стержня

dφ/dx= T/GI_p . (25)

с учетом формулы (25) примет вид

τ_ρ = (T/I_p ) ·ρ. (26)