Реферат: Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом
a)
Возьмем тогда
Так как это верно при любом , то получаем, что предельная функция удовлетворяет условию Липшица с константой L.
b) По теореме Кантора равномерно на отрезке.
Предположим, что при этом (для простоты доказательства предположим что , если , рассуждения проводятся аналогично)
Возьмем , тогда, так как для любого положительного и любого выполнено , то выполнено и для данных и t. Получим:
Так как по предположению , то получаем что , а это невозможно, так как . Противоречие показывает, что предельная функция ограничена по норме той же константой .
c)
на отрезке .
Видим, что выполнение условий a,b,c равнозначно тому что , то есть множество замкнуто.
Лемма доказана полностью.
3. Существование и единственность решения
Для доказательства теоремы о существовании и единственности липшицевого решения нам потребуется некоторые понятия и важные теоремы, доказательства которых можно, например, найти в книге Кадеца [3].
Def 2. Оператор Т называется вполне непрерывным (компактным), если Т непрерывен и Т отображает любое ограниченное множество в предкомпактное.
Def 3. Семейство Ф функций φ, определенных на называется равномерно ограниченным, если
Def 4. Семейство Ф функций φ, определенных на , называется равностепенно непрерывным, если
Теорема 1. (Арцела)
Для того чтобы семейство Ф непрерывных, определенных на отрезке функций было предкомпактом в , необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.
Теорема 2 .(Шаудера, принцип неподвижной точки)
Если U-замкнутое ограниченное выпуклое подмножество пространства Банаха Xоператор вполне непрерывен, то Т имеет в U по крайней мере одну неподвижную точку.
Именно на теореме Шаудера основано доказательство теоремы о существовании и единственности решения.
Теорема 3. (существование и единственность решения системы (1).(2))
Пусть система (1),(2) такая что:
Тогда такая что на отрезке существует решение системы (1),(2), удовлетворяющее условию Липшица, и оно единственно.
Замечание. Для простоты возьмем , для других значений теорема доказывается аналогично, или сводится к этому случаю заменой переменных.
Доказательство: Проинтегрировав уравнение (1), увидим, что решение должно удовлетворять условию: