Реферат: Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом вида

(1)

где , , , называются дифференциальными уравнениями с запаздыванием, зависящим от состояния, а именно с сосредоточенным запаздыванием.

Если заданы начальные данные в виде

(2)

То имеет смысл определить понятие решения, начинающегося в точке σ с функции φ, или, короче, начинающегося в φ.

В дальнейшем будем рассматривать только решения, удовлетворяющие условию Липшица, поэтому следует дать следующее определение:

Def 1 .Функция называется решением системы (1), (2) на отрезке , если она удовлетворяет следующим условиям:

на отрезке .

Естественно возникает вопрос о существовании и единственности такого решения.

Для начала сделаем некоторые обозначения.

a) есть функция, определенная на отрезке и удовлетворяющая условию Липшица с константой L, то есть

;

b)

c)

Def 2. удовлетворяет условиям a),b),c)}

2. Полезная лемма

Lemma 1: - выпуклое, замкнутое, ограниченное множество в пространстве непрерывных на отрезке функций.

Proof :

1)Выпуклость:

a)Выберем произвольные функции , тогда

b);

c)на отрезке на том же отрезке для любых .

2)Ограниченность:

Множество определено так, что все элементы этого множества лежат в шаре радиуса

3)Замкнутость:

Возьмем последовательность функций такую, что

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--