Реферат: Динамическое представление сигналов
Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7) предварительно разделив и умножив на величину шага D, то
¥ 1
S(t) = å Sk --- [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] D
k=- ¥D
Переходя к пределу при D® 0 , необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной t, дифференциал которой dt ,будет отвечать величине D .
Поскольку
1
lim [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] ---
D®0D
получим искомую формулу динамического представления сигнала
¥
S (t) = ò s (t) d(t - t) dt
- ¥
Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен d - импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции.[3]
Из определения дельта-функции следует (3) . Следовательно, интеграл дельта-функции от - ¥ до t есть единичный скачок , и дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка :
d(t) = 1’ (t) ;
d(t-t0) = 1’ (t-t0) .
Обобщенные функции как математические модели сигналов.
В классической математике полагают, что функция S(t) должна принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная функция d(t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие обобщенной функции.
В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции ¦(t) может служить, например, значение интеграла
¥
ò¦(t) j(t) dt (8)
- ¥
при известной функции j(t) , которую называют пробной функцией.
Каждой функции j(t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый функционал на множестве пробных функций j(t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть
(¦, aj1+bj2) = ¦,j1) + b(¦,j2).
Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций j(t) задана обобщенная функция ¦(t) [4] . Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм.
Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.