Реферат: Диофантовые уравнения

х =2pq=m²-1/2,

у =p²-q²=m,

z = p² + q² = m²+1/2.

В случае чётного m обозначим m=2t. В свою очередь t может быть чётным или нечётным. Для чётного t положим p=t, q=1, откуда соответствующий треугольник имеет стороны

х =2pq=2t=m,

у =p²-q²= t²-1= m²/4-1,

z = p² + q² = t²+1= m²/4+1.

Если же t-нечётное число, то возьмём p=t+1/2, q=t-1/2. Выпишем пифагорову тройку, отвечающую этим значениям p и q: 2pq= t²-1/2, p²-q²=t=m/2, p² + q² = t²+1= m²/4+1. Чтобы получить стороны искомого треугольника , надо ещё умножить эти числа на 2: x= t²-1= m²/4-1, y=2t=m, z =t²+1= m²/4+1. В виду равноправности катетов полученная тройка та же , что и в случае чётного t.

Приведём примеры. Для m=7 имеем треугольник с катетами x=24,y=7 и гипотенузой z=25. В случае m=3 тройка (4,3,5) задаёт наименьший пифагоров треугольник. Этот треугольник называется египетским. Сложнее выяснить , для каких натуральных m существует пифагоров треугольник с гипотенузой m. Так как m в этом случае должно быть кратно числу z= p² + q² , где p и q имеют разную чётность , то необходимо найти вид чисел z>2, представляемых в виде суммы квадратов разной чётности. Обозначим p=2r, q=2s+1, тогдаp² + q²=4(r²+s²+s)+1. Значит число z имеет вид 4t+1. Однако не всякое число вида 4t+1 раскладывается на сумму двух квадратов . Наример, число 9=4*2+1 так разложить невозможно. Но если число 4t+1 простое . то оно представимо в виде суммы двух квадратов, причём единственным способом. Число вида 4t+1 можно записать в виде суммы двух квадратов лишь в двух случаях: когда оно является произведением числа того же вида на квадрат натурального и когда оно равно произведению простых чисел типа 4t+1 .

Итак, пифагоров треугольник с заданой гипотинузой m существует только при условии , что в каноническом разложении числа m встречается простой множитель вида 4t+1.

Рассмотрим примеры .

1. Пусть m =17 ( здесь 17=4×4+1). Из равенства 17=4²+1² находим p=4, q=1, x=2pq=8,y=p²-q²=15. Тройка (8,15,17) задаёт пифагоров треугольник.

2. В случае m=65 имеем 65=5×13=5(4×3+1). Так как 13=3²+2², то p=3, q=2, 2pq=12, p²-q²=5, p² + q²=13. Для отыскания нужной нам тройки умножим эти числа на 5 и получим (60,25,65). Число 65можно придставить иначе: 65=13(4×1+1), 5=2²+1², откуда p=2, q=1, 2pq=4,p²-q²=3, p² + q²=5. Имеем ещё один треугольник с гипотенузой 65. Это (52,39,65).

3. Числа 9 и 49 не могут выражать длину гипотенузы пифагорова треугольника. Хотя 9=4×2+1 и 49=4×12+1. Но их простые множители не представляются в вид 4t+1.

Диофант в сочинении «Арифметика» занимался разысканием рациональных (необязательно цельных) решений специальных видов уравнений . Общая теория решения Диофантовых уравнений 1-й степени была создана в 17 веке. К началу 19 века трудами П. Ферма , Дж. Виллса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и К. Гауса в основном было исследовано Диофантово уравнение вида

ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0,

где а,b,c,d,e,f- целые числа, то есть общее неоднородное уравнение 2-й степени с двумя неизвестными.

Перейдем теперь к одной из самых знаменитых задач диофантова анализа, получившей название Великой теоремы Ферма.Начнем с истории возникновения этой теоремы. На полях «Арифметики» Диофанта против того места, где рассматривается уравнение х² +у² =z²,П. Ферма (ок. 1630) написал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на двабиквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл" этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы». Так родилась эта замечательная теорема. В ней утверждается, что

При n>2 уравнение

x+y=z (10)

не имеет решений.

Предоставляем читателям возможность доказать, что из этого утверждения вытекает отсутствие и рациональных решений уравнения (10) при n>2.

Несмотря на внешнюю простоту формулировки теоремы, до сих нор неизвестно, справедлива она или нет, хотя над ее доказательством трудились многие поколения математиков Полое грех столетий. Весьма вероятно, что и сам Ферма не нашел строгого доказательства этой теоремы. Предлагал же он доказать лишь частный случай этой теоремы для п = 4. А он следует из утверждения, выведенного Ферма на полях «Арифметики»: площадь пифагорова треугольника не может быть квадратом. Мы не будем приводить доказательства этого утверждения, но покажем, что из него действительно вытекает отсутствие натуральных решений уравнения

x⁴ +y⁴ =z⁴ (11)

Если х и y — длины катетов пифагорова треугольника, то найдутся взаимно простые числа ри qразной четности (p>q),такие, что x = 2kpq,y = k(p²—q²)и s= 1/2xy = k² pq (р² — q² ).Заметим, что множитель p²—q² взаимно прост с числами ри q. Поэтому число s=k² pq(p² —q² )является квадратом тогда и только тогда, когда каждый из множителей р, qи p² —q² — является квадратом: р = а² , q = b² , p² — q² = c² , откуда

a⁴ -b⁴ =c² .(12)

Но поскольку нет такого пифагорова треугольника, площадь которого выражается квадратом, то уравнение (12) не имеет натуральных решений. Тогда таких решений не имеет и уравнение (11). На самом деле если бы тройка (b, с, а)была натуральным решением (11), т.е. b⁴ + с⁴ =а⁴ ,то а⁴ — b⁴ =(с² )² и тройка (а, b, с² )была бы решением уравнения (12).

Арифметика колец цельных алгебраических чисел используется также в ряде других задач Диофантовых уравнений. Так, например , её методами подробно исследованы уравнения вида N (a1x1+…+anxn)=m, где N(a)- норма алгебраического числа a , и отыскиваются цельные рациональные числа x1,x2,…,xn, удовлетворяющие вышенаписанному уравнению.

Способы решения диофантовых уравнений

Наиболее изучены диофантовы уравнения первой и второй степени. Рассмотрим сначала уравнения первой степени. Так как решение линейного уравнения с одним неизвестным не представляет интереса, то обратимся к уравнениям с двумя неизвестными.Мы рассмотрим два метода решения этих уравнений.