Реферат: Дискретные сигналы

Z - изображение сигнала согласно (1.8)

X(Z) =x(nT) Z^-n = x(0T) Z^-0 + x(1T) Z^-1 = a + bZ^-1

Отсюда подстановкой (1.9) определяем спектр сигнала

X(jw) = a + be^{-j w T} .

Графики модуля и аргумента спектральной плотности приведены на рисунке 1.6, а, б на интервале частот [0 ; w_д ].

Вне интервала частот [0 ; w_д ] частотные зависимости повторяются с периодом w_д .

Основные теоремы Z - преобразования.

Перечислим без доказательства теоремы z - преобразования, которые потребуются в последующих разделах.

1. Теорема линейности.

Если x(nT) = ax₁ (nT) + bx₂ (nT) ,

то X(Z) = a X₁ (Z) + bX₂ (Z).

Теорема запаздывания.

Если x(nT) = x₁ (nT - QT) ,

то X(Z) = X₁ (Z) Z^-Q .

Теорема о свертке сигналов.

Если X(nT) = x₁ (kT) x₂ (nT - kT) ,

то X(Z) = X₁ (Z) X₂ (Z).

Теорема об умножении сигналов.

Если x(nT) = x₁ (nT) x₂ (nT) ,

то X(Z) = X₁ (V) X₂ () V^-1 dV,

где V, Z - переменные на плоскости Z.

Теорема энергий (равенство Парсеваля).

x² (nT) =X(Z) X(Z^-1 ) Z^-1 dZ.

Z - преобразование дискретных сигналов имеет значение равное значению преобразования Лапласа непрерывных сигналов.

Дискретное преобразование Фурье.

Если сигнал ограничен во времени значением t_u , а его спектр - частотой w_в , то он полностью характеризуется конечным числом отсчетов N как во временной, так и в частотной областях (Рис. 1.7, а, б) :

N = t_u /T - во временной области, где T = 1/f_д ,

N = f_д /f₁ - в частотной области, где f₁ = 1/t_u .

Дискретному сигналу соответствует периодический спектр, дискретному спектру будет соответствовать периодический сигнал. В этом случае отсчеты X(nT) = {X₀ ; X₁ ; … X_N-1 } являются коэффициентами ряда Фурье периодической последовательности X(jkw₁ ), период, который равен w_д . Соответственно, отчеты X(jkw₁ ) = {X₀ ; X₁ ; … X_N-1 } являются коэффициентами ряда Фурье периодической последовательности X(nT), период, который равен t_u .