Реферат: Доверительный интервал. Проверка статистических гипотез

то доверительный интервал принимает вид

l_e =

1.2 Распределение Стьюдента

При малом объеме выборки (n < 30) полученный доверительный интервал для среднего генерального, использующий нормальное распределение случайной величины , может быть очень грубым.

Для более точного получения доверительного интервала необходимо знать закон распределения случайной величины при малом объеме выборки. Для этого воспользуемся следующим результатом. Пусть Х₁ , Х₂ , ... , Х_n – выборка нормально распределенной случайной величины Х, тогда, как доказано, случайная величина

подчиняется распределению Стьюдента cn – 1 степенью свободы, плотность распределения которого имеет вид

где - гамма функция. Эта плотность, как видно из формулы, зависит только от числа опытов n. Ниже представлены графики плотностей нормированной (m_x = 0, s = 1) нормально распределенной и с распределением Стьюдента (n = 4) случайных величин.

нормальное распределение

f

распределение Стьдента

0,4

0,3

0,2

0,1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 t

На основании найденных можно, пользуясь распределением Стьюдента, найти доверительный интервал для m_x , соответствующий доверительной вероятности b. Действительно, так как то

Пользуясь таблицей значений интеграла

по значению b найдем величину а следовательно, и сам доверительный интервал l_e =

2. Проверка статистических гипотез

Принятие решения о параметрах генеральной совокупности играет исключительно важную роль на практике. Рассмотрим вопрос о принятии решения на примере. Пусть фирма, выпускающая конденсаторы, утверждает, что среднее пробивное напряжение конденсаторов равно или превышает 300 В. Испытав 100 конденсаторов, мы получили, что среднее выборочное пробивное напряжение равно 290 В, а несмещенное выборочное среднее квадратичное отклонение s_n = 40 В. Можно ли с доверительной вероятностью 0,99 утверждать, что среднее пробивное напряжение превышает 300 В.

Здесь нас интересует односторонняя оценка – среднее пробивное напряжение должно превышать 300 В.

Выскажем статистическую гипотезу – генеральное среднее m_x = 300 В, а затем проверим, соответствует ли она результатам наблюдения. Поскольку объем выборки больше 30, то выборочное среднее можно считать гауссовской случайной величиной с генеральной дисперсией s² »s_n ² . Введем центрированную и нормированную величину

Утверждение о том, что среднее выборочное напряжение эквивалентно утверждению, что случайная величина