Реферат: Доверительный интервал. Проверка статистических гипотез

1. Доверительный интервал

Точечные оценки являются приближенными, так как они указывают точку на числовой оси, в которой должно находиться значение неизвестного параметра. Однако оценка является приближенным значением параметра генеральной совокупности, которая при разных выборках одного и того же объема будет принимать разные значения, поэтому в ряде задач требуется найти не только подходящее значение параметра а, но и определить его точность и надежность.

Для этого в математической статистике используется два понятия – доверительный интервал и доверительная вероятность. Пусть для параметра а из опытных данных получена несмещенная оценка Требуется определить возможную при этом величину ошибки и вероятность того, что оценка не выскочит за пределы этой ошибки (надежность).

Зададимся некоторой вероятностью b (например, b = 0,99) и найдем такое значение e > 0, для которого

Представим это выражение в виде

Это значит, что с вероятностью b точное значение параметра а находится в интервале l_e

l_e

Здесь параметр а – неслучайная величина, а интервал l_e является случайным, так как - случайная величина. Поэтому вероятность b лучше толковать, как вероятность того, что случайный интервал l_e накроет точку а. Интервал l_e называют доверительным интервалом, а вероятность b - доверительной вероятностью (надежностью).

Пример. Если при измерении какой-то величины Х указывается абсолютная погрешность Dх, то это, по существу, означает, что погрешность измерения, являясь случайной величиной, равномерно распределена в интервале (-Dх, Dх) и где Х* - измеренная величина, а х – ее точное значение. Здесь b = 1, e = Dх и l_e = (x*- Dх, x* + Dх).

1.1 Доверительный интервал для математического ожидания

В качестве еще одного примера рассмотрим задачу о доверительном интервале для математического ожидания. Пусть проведено n независимых опытов измерения случайной величины Х с неизвестным математическим ожиданием m_x и дисперсией s² . На основании опытных данных Х₁ , Х₂ , ... , Х_n построим выборочные оценки

Требуется построить (найти) доверительный интервал l_e , соответствующий доверительной вероятности b, для среднего генерального m_x .

Так как среднее выборочное представляет сумму n независимых одинаково распределенных случайных величин то при достаточно большом объеме выборки согласно центральной предельной теоремы ее закон близок к нормальному. Существует эмпирическое правило, по которому при объеме выборки n³ 30 выборочное распределение можем считать нормальным.

Ранее было показано, что Найдем теперь такую величину e(b) > 0, для которой выполняется равенство

Считая случайную величину нормально распределенной, имеем

После замены имеем

По табличным значениям функции Лапласа Ф*(z) находим аргумент, при котором она равна b. Если этот аргумент обозначить Z_b , то тогда

Среднее квадратичное значение приближенно можно заменить

где

Таким образом, доверительный интервал для среднего генерального равен:

l_e =

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--