Реферат: Элементарная теория сумм Гаусса

D₁ (t₁ – t₁ ) = D₂ (t₂ – t₂ ) (mod D₂ ) А так как D₂ (t₂ – t₂ ) = 0 (mod D₂ )

То по свойству сравнений имеем D₁ (t₁ – t₁ ) = 0 (mod D₂ ) Отсюда так как (D₁ , D₂ )=1 , то t₁ – t₁ = 0 (mod D₂ ) Аналогично получим t₂ – t₂ = 0 (mod D₁ )

Т.е. имеем t₁ = t₁ (mod D₂ ) и t₂ = t₂ (mod D₁ ) . Но это противоречит тому, что t₁ пробегает полную систему вычетов по модулю D₂ , а t₂ пробегает полную систему вычетов по модулю D₂ , так как в полной системе вычетов любые два числа не сравнимы. Следовательно наше предположение было неверным и действительно D₁ t₁ + D₂ t₂ пробегает полную систему вычетов по модулю D₁ D₂ .

Поэтому

Лемма 3.

Пусть p простое нечетное число и не делит a . Тогда

Доказательство:

что и требовалось доказать.

-6-

Лемма 4.

Если р простое нечетное число , то

Доказательство :

Из леммы 3. получим

Так как произведение сопряженных величин дает квадрат модуля, то

Лемма 5.

Если р и q различные простые числа , то

Доказательство :

Так как ( р, q )= 1 , мы можем воспользоваться леммой 2 : в нашем случае

Итак , мы показали, что

что и требовалось доказать.