Реферат: Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

3. Понятие функции, непрерывной в точке.

"Пусть f(x) – функция, непрерывная в точке x.(см. рисунок) Отметим на оси абсцисс точки x, x+∆x и точку с, лежащую между ними. Пусть ∆x→0. К чему стремится f(c)? Из графических соображений получаем ответ, что если

∆x→0, то с→x, а f(c)→f(x).

4. Утверждение о том, что площадь криволинейной трапеции с основанием ∆ x можно заменить равной площадью прямоугольника с тем же основанием ∆ x и высотой f ( c ), где с – некоторая точка отрезка [ x ; x +∆ x ].

Существование точки с утверждается теоремой и может быть проиллюстрировано следующими заданиями: "На рисунке дана криволинейная трапеция с основанием ∆x. Построить прямоугольник, у которого основание было бы равно ∆x, а площадь равнялась бы площади криволинейной трапеции." Задание выполняется "на глаз", от руки и преследует цель добиться интуитивного(на наглядно-геометрическом уровне) осознания рассматриваемого факта.

5. Определение первообразной.

"Пусть S(x) – первообразная f(x). Поясните, что это обозначает. Пусть S(x) – одна из первообразных для функции f(x). Запишите формулу для общего вида первообразных функции f(x)"(привычное определение первообразной применяется в новых обозначениях).

Доказательство теоремы целесообразно разбить на три части:

1) Введём функцию S(x). Рассмотрим функцию S(x), определенную на отрезке [a,b], которая выражает зависимость площади криволинейной трапеции от аргумента x. Дадим аргументу x приращение ∆x, такое, что

.

Тогда приращение функции в точке x:

(∆x полагаем положительным)

2) Докажем что функция S(x) является первообразной для функции

для всех

Согласно определению производной, Так как - площадь криволинейной трапеции с основанием , то её можно заменить равной площадью прямоугольника с основанием и высотой f(c), где

Тогда:

Поскольку с лежит между x и x+∆x, то при ∆x→0 точка с стремится к x, а f(c)→f(x). Эти рассуждения можно записать в одну строчку следующим образом:

Итак,

.

3) Подведем итоги. Мы доказали , что S(x)– первообразная для f(x) на [a,b]. Но по условию F(x) – также первообразная для f(x) на этом отрезке. Следовательно, функции S(x) и F(x) отличаются друг от друга на некоторую константу С:

(1)

Пусть x=a равенство (1) примет вид: , откуда C=-F(a). При x=b равенство (1) запишется в виде: S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a). Таким образом, S= F(b)-F(a)

Рассмотрим простейший случай криволинейной трапеции – обычную трапецию. Пусть также трапеция образована графиком функции y=x и прямыми: x=1 и x=2. По формуле площади трапеции, известной из курса планиметрии,