Реферат: Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

Таким образом, этот пример подтверждает, что площадь трапеции может быть найдена как приращение первообразной: . Методика использования рассмотренного примера при ознакомлении учащихся с теоремой может быть такой: вначале ставится учебная проблема о нахождении связи между площадью криволинейной трапеции и первообразной; приводится пример, указывающий эту связь; формулируется теорема или сначала сообщается теорема, затем приводится примет, подтверждающий эту теорему.

4. Методическая схема и аспекты введения понятия интеграла в средней школе

Методическая схема введения понятия интеграла.

1)привести подводящую задачу;

2)сформулировать определение интеграла

1) Задачи, подводящие к этому понятию.

Задача№1 . На отрезке [a,b] задана непрерывная и неотрицательная функция y=f(x). Укажите новый способ(не связанный с первообразной) нахождения площади S криволинейной трапеции, образованной графиком этой функции и прямых x=a и x=b.

Этапы решения задачи: 1) построение ступенчатой фигуры и вычисление её площади

[a,b] разбиваем на n равных частей:

Одна сторона прямоугольника - , вторая - , поэтому:

2) Выражение площади криволинейной трапеции через .

Производим деление [a;b] на более "мелкие" части и вычисляем следующее значение . После сравнения получаем: .

Задача№2 . Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой мгновенной скоростью , где - непрерывная на отрезке функция. Требуется найти путь, который пройдет материальная точка за промежуток времени от до .

В простейшем случае, когда мгновенная скорость постоянна, путь, пройденный телом, равен произведению его скорости на время движения. В общем случае, когда мгновенная скорость непостоянна, поступают следующим образом:

Сравнивая результаты решения этих двух задач, формулируем общий метод решения: разбиение отрезка, на котором задана функция, на равные части; составление суммы вида , которая принимается в качестве приближенного значения искомой величины; выполнение предельного перехода: . Такие пределы встречаются при решении многих задач из разных областей науки и техники. Поэтому они получили специальное название "интеграл функции f(x) от a до b" и обозначение . Таким образом, по определению:

,

где f(x) – непрерывная на [a,b] функция; - точки, разбивающие отрезок [a,b] на равные части; - длина каждой из этих частей.

Запишем результаты решенных задач. Площадь криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией f(x) на [a,b],

Путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от до со скоростью , где - непрерывная на отрезке функция,

.

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции

и ,

получаем:

,

где F – первообразная для f на [a,b] – формула Ньютона-Лейбница, позволяющее вычислять интегралы.

Анализ материала учебных пособий, связанных с введением понятия "интеграл" и получением способа вычисления интегралов, приводят к следующим важным в методическом отношении выводам: