Реферат: Элементы математической статистики

Случайная величина , распределенная по нормальному закону, описывается плотностью вероятности:

.

Нормальное распределение определяется двумя параметрами – математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением .

Случайная величина имеет математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение и называется нормированной нормально распределенной случайной величиной. Ее плотность вероятности:

,

График плотности распределения приведен на рисунке 1.

Функция распределения табулирована.

Вероятность попадания в интервал :

Вероятность попадания в интервал [-3;3] длиной по правилу “3-х сигм” принимается за единицу. Это равносильно предположению, что все значения z заключены в интервал [-3;3].

Рис.1. График функции плотности нормированной нормально распределенной случайной величины

1.2.2 Распределение Пирсона (х² распределение)

Это распределение используется для построения доверительных интервалов, проверки соответствия эмпирического распределения некоторой теоретической зависимости, проверки согласованности мнений экспертов.

Пусть имеется независимых, нормированных, нормально распределенных случайных величин . Сумма их квадратов образует новую случайную величину .

Число степеней свободы равно числу независимых слагаемых в сумме. Если на слагаемые наложено связей, то число степеней свободы будет равно .

Распределение является асимптотически нормальным и зависит только от числа степеней свободы . Значение табулированы.

1.2.3 Распределение Стьюдента

Для построения доверительных интервалов и для проверки статистических гипотез часто используется -распределение (распределение Стьюдента).

- оценка математического ожидания,

- оценка СКО, рассчитанные по результатам опытов, случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами .

Распределение Стьюдента определяется числом степеней свободы , является симметричным, унимодальным и асимптотически нормальным. При оно практически совпадает с нормальным. Таблица распределения имеет два входа – число степеней свободы и уровень значимости . На пересечении находится значение , которое удовлетворяет условию .

1.2.4 Распределение Фишера

Это распределение, как и два предыдущие, используются при анализе результатов эксперимента, имеющих нормальное распределение. - распределение задается следующим образом:

,

где - случайные величины с числом степеней свободы , причем величина в числителе должна быть больше величины в знаменателе.

Путем тождественных преобразований приведем, к отношению двух оценок дисперсии некоторой случайной величины .

Пусть на основе результатов двух серий экспериментов с числом опытов соответственно были получены -оценки дисперсии с числом степеней свободы . Заметим что,