Реферат: Эрмитовы операторы

т.е. L L ^-1 = I , L ^-1 L = I .

Если линейный оператор L имеет обратный L ^{- 1} , то системы функций {φ _k } и { L φ _k } одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все φ _k принадлежат M_{L .} )

Рассмотрим линейное однородное уравнение

Lu = λu , (5)

где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из M_L . Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из M_L , называются собственными значениями оператора L , а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r , 1 ≤ r ≤ ∞ , линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то λ называется простым собственным значением.

Если кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u ₁ ,...,и₂ — соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация

u ₀ = c ₁ u ₁ + c ₂ u ₂ + ... + c_r u_r

также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения

Lu = λ u + f (6)

существует, то его общее решение представляется формулой

и = и* +∑с _k и _k , (7)

где и* — частное решение (6) и с _k , k = l,2,...,r, — произвольные постоянные.

Эрмитовы операторы

Линейный оператор L , переводящий M_L СL ₂ ( G ) в L₂ (G), называется эрмитовым, если его область определения M_L плотна в L₂ (G) и для любых f и g из M_l справедливо равенство

( Lf , g ) = ( f , Lg ).

Выражения ( Lf , g ) и ( Lf , f ) называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором L .

Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма ( Lf , f ), f Є M_l , где M_l плотна в L₂ (G), принимала только вещественные значения.

Линейный оператор L , переводящий M_l С L₂ (G) в L₂ (G), называется положительным, если M_l плотна в L₂ (G) и

(Lf , f ) ≥ 0, f Є M_l .

В частности, всякий положительный оператор эрмитов.

Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны .

Доказательство. Пусть λ₀ — собственное значение, u ₀ — соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L , L u ₀ = λ₀ u ₀ . Умножая скалярно это равенство на u ₀ , получим