Реферат: Эрмитовы операторы
Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма ( Lf , f ) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ0 — вещественное (неотрицательное) число.
Докажем, что любые собственные функции и 1 и и 2 , соответствующие различным собственным значениям λ1 и λ2 , ортогональны. Действительно, из соотношений
Lu 1 = λ1 и 1 , Lu 2 = λ2 и 2 ,
из вещественности λ1 и λ2 и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств
λ1 (и 1 ,и 2 ) = ( λ и 1 ,и 2 ) = ( L и 1 ,и 2 ) = (и 1 , Lu 2 ) = (и 1 ,λ 2 и 2 ) = =λ 2 (и 1 ,и 2 ),
т.е. λ1 (и 1 ,и 2 ) = λ 2 (и 1 ,и 2 ). Отсюда, поскольку λ1 ≠ λ 2 , вытекает, что скалярное произведение (и 1 ,и 2 ) равно нулю. Теорема доказана.
Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: λ1 ,λ2 ,..., повтори λk столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и 1 ,и 2 ,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция и k :
Lu k = λk , и k , k = 1,2,...
Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система {φ k } состоит из линейно независимых функций. Всякая система ψ 1 ,ψ 2 ,... линейно независимых функций из L2 (G) преобразуется в ортонормальную систему φ 1 ,φ 2 , — следующим процессом ортогонализации Шмидта:
φ 1 = ψ 1 /||ψ 2 || , φ 2 = ψ 2 – (ψ 2, φ 1 ) φ 1 / || ψ 2 – (ψ 2, φ 1 ) φ 1 ||
φ k = ψ k – (ψ k , φ k -1 )φ k -1 – … – (ψ k , φ 1 )φ 1 / || ψ k – (ψ k , φ k -1 )φ k -1 – … – – (ψ k , φ 1 )φ 1 ||
При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Таким образом, если система собственных функций {ик } эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:
( Lu k , u i ) = λ k (и k , u i ) = λ k δki
Список литературы
1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.
2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.
3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.