Реферат: Еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими операторами
У підрозділі 2.2 наведені твердження, які стосуються основних властивостей перетворення Бесселя просторів ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
На функціях з простору ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ визначене перетворення Бесселя $F_B$: $$ F_B[\varphi](\xi) = \intl_{0}^{\infty} \varphi(x) j_{\nu}(x \xi) x^{2\nu+1} dx, \quad \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}, $$ де $j_\nu$\,-- нормована функція Бесселя.
$F_B[\varphi]$\,-- парна, обмежена, неперервна на $\mathbb{R}$ функція. Інші властивості перетворення Бесселя наведено у вигляді наступних тверджень.
Твердження 2.1. Якщо $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, то $F_B[\varphi]$\,-- нескінченно диференційовна на $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ функція.
Твердження 2.2. У функції $D_{\xi}^k F_B[\varphi](\xi)$, $\xi \neq 0$, $k \in \mathbb{Z}_+$, існують скінченні односторонні границі $\dst \liml_{\xi \to \pm 0} D_{\xi}^k F_B[\varphi](\xi)$, $\varphi \in{\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Твердження 2.3. Функції з простору ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}= F_B[\mathop{\Phi}\limits^{\circ}]$ задовольняють умову:} $$ \forall s \in \mathbb{Z}_+ \enskip \exists c_s > 0: \enskip \supl_{\xi \in \mathbb{R} \setminus \{0\}} |\xi^s D_{\xi}^s F_B[\varphi](\xi)| \leq c_s, \quad \forall \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}.$$
Твердження 2.4. $\xi^s D_{\xi}^s F_B[\varphi] \in L_1(\mathbb{R})$, $s \in \mathbb{Z}_+ $, для довільної функції $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
На функціях $F_B[\varphi] \in {\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$ визначене обернене перетворення Бесселя $$ \varphi(x) = F_B^{-1}[F_B[\varphi]](x) = c_{\nu} \cdot\intl_{0}^{\infty} F_B[\varphi](\xi) j_{\nu}(x \xi) \xi^{2\nu+1}d\xi,$$ де $c_{\nu} = (2^{2\nu} \Gamma^2(\nu+1))^{-1}$.
Твердження 2.5. Перетворення Бесселя неперервно відображає ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ на простір ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$.
У підрозділі 2.3 розглядається оператор узагальненого зсуву аргументу в просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Символом $T_x^{\xi}$ позначимо оператор узагальненого зсуву аргументу, який відповідає оператору Бесселя: $$ T_x^{\xi} \varphi(x) = b_{\nu} \intl_{0}^{\pi} \varphi(\sqrt{x^2+\xi^2 - 2x \xi \cos \omega})\sin^{2\nu} \omega d\omega, \quad \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}, $$ де $b_{\nu} = \Gamma(\nu+1)/(\Gamma(1/2) \Gamma(\nu+1/2))$. Будемо говорити, що оператор $T_x^{\xi}$ визначений у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, якщо $T_x^{\xi} \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ для кожного $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Лема 2.1. Оператор узагальненого зсуву аргументу $T_x^{\xi}$ визначений і неперервний у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Наслідок 2.1 . Операція узагальненого зсуву аргументу нескінченно диференційовна у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
У підрозділі 2.4 розглядається простір узагальнених функцій $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$, перетворення Бесселя узагальнених функцій з простору $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$. Вивчаються властивості згорток, згортувачів та мультиплікаторів.
Символом $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ позначатимемо простір усіх лінійних неперервних функціоналів над відповідним простором основних функцій зі слабкою збіжністю, а його елементи називатимемо узагальненими функціями.
Оскільки в просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ визначена операція узагальненого зсуву аргументу, то згортку узагальненої функції $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ з основною функцією задамо формулою $ (f*\varphi)(x) = <f_{\xi}, T_{x}^{\xi}\varphi(x)>$, при цьому $f* \varphi$ є нескінченно диференційовною на $\mathbb{R}$ функцією, бо, згідно з наслідком 2.1, операція узагальненого зсуву аргументу нескінченно диференційовна у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Якщо $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ і $f*\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, $\forall \varphi \in {\mathop{\Phi} \limits^{\circ}}$, то функціонал $f$ називається згортувачем у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Оскільки $F_B^{-1}[\varphi] \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, якщо $\varphi \in {\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$, то перетворення Бесселя узагальненої функції $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ визначимо за допомогою співвідношення $$<F_B[f], \varphi> = <f, F_B^{-1}[\varphi]>, \quad \forall \varphi \in{\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}. $$ Звідси, з властивостей лінійності і неперервності функціоналу $f$ та перетворення Бесселя (прямого й оберненого) основних функцій випливає лінійність і неперервність функціоналу $F_B[f]$ над простором основних функцій ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$. Правильними є наступні твердження.
Теорема 2.1. Якщо узагальнена функція $f\in ({\mathop{\Phi} \limits^{\circ}})' $\,-- згортувач у просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, то для довільної функції $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ правильною є формула $ F_B[f * \varphi] = F_B[f] \cdot F_B[\varphi]$.
Теорема 2.2 . Якщо узагальнена функція $f \in ({\mathop{\Phi} \limits^{\circ}})'$\,-- мультиплікатор у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, то її перетворення Бесселя -- згортувач у просторі ${\mathop{\Psi} \limits^{\circ}}$.
Зауваження 2.3. Результати, одержані в теоремах 2.1, 2.2 можна сформулювати так: для того, щоб узагальнена функція $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ була згортувачем у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, необхідно і досить, щоб її перетворення Бесселя було мультиплікатором у просторі ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$.
У підрозділі 2.5 наведено основні означення та твердження, що стосуються відображень вигляду $\Omega\ni\omega\rightarrow \varphi_\omega\in X$, де $X$\,-- лінійний топологічний простір або об'єднання таких просторів, $\Omega$\,-- деяка числова множина. Такі відображення називають ще абстрактними функціями параметра $\omega$ у просторі $X$. За $X$ можна, зокрема, брати простір $\Phi$ або ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
У розділі 3 досліджується коректна розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами та початковими умовами з простору узагальнених функцій $(\mathop{\Phi}\limits^{\circ})'$.
У підрозділі 3.1 досліджуються структура та властивості фундаментального розв'язку задачi Кошi.
Нехай $a$: $\mathbb{R} \to [0, +\infty)$\,-- неперервна, парна на $\R$ функція, однорідна порядку $\gamma \in (1, +\infty) \setminus\{2, 3, 4, \dots\}$, тобто $a(\lambda x) = \lambda^{\gamma} a(x)$, $\lambda > 0$, яка:
1) нескінченно диференційовна при $x \neq 0$, $a(0)=0$;
2) похідні функції $a$ задовольняють умову $$ \forall k \in \N \enskip \exists c_k > 0 \enskip \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}: \,\, |D_{x}^k a(x)| \leq c_k |x|^{\gamma-k}; $$
3) $\exists \delta > 0$ $\forall x \in \mathbb{R}$: $a(x) \geq \delta|x|^{\gamma}$.
Функція $a$ є мультиплікатором у просторі ${\mathop{\Psi} \limits^{\circ}}$. У зв'язку з цим розглянемо оператор $A$: ${\mathop{\Phi} \limits^{\circ}} \to{\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, який визначимо за допомогою співвідношення: $ A \varphi = F_B^{-1}[a F_B[\varphi]]$, $\forall \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$. Із властивостей перетворення Бесселя (прямого й оберненого) випливає, що $A$\,-- лінійний і неперервний оператор. Оператор $A$ називатимемо псевдо-Бесселевим оператором.