Реферат: Еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими операторами
Надалi функцiю $G(t,T,x)$ називатимемо фундаментальнимрозв'язком двоточкової задачi (ФРДЗ) для рiвняння (4).
У підрозділі 4.2 досліджується коректна розв'язність двоточкової задачі для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами у просторах узагальнених функцій $\Phi'$.
Основний результат цього підрозділу складає наступне твердження.
Теорема 4.1. Задача (4), (5) коректно розв'язна в класi узагальнених функцiй $\Phi_*^{\prime}$. Розв'язок подається у виглядi згортки: $$ u(t,x)=(\varphi*G)(t,x), \hspace{0.3cm} \varphi\in\Phi_*^{\prime},\, (t,x)\in \Omega_+, $$ де $G$\,-- ФРДЗ для рiвняння (4).
Для розв'язку двоточкової задачі справедливий принцип локалізації, аналогічний теоремам 3.5, 3.6.
У розділі 5 наведено основнi означення та твердження, що стосуються топологiчної структури просторiв типу $S$ та основних операцiй у цих просторах. Дослiджується коректна розв'язнiсть задачi Кошi для еволюцiйного рiвняння з оператором Бесселя дробового диференцiювання та початковими умовами, якi є узагальненими функцiями типу ультрарозподiлiв.
У підрозділі 5.1 наведено основні означення та твердження, що стосуються топологічної структури просторів типу $S$ нескінченно диференційовних на $\R$ функцій, що задовольняють нерівності $ \left| x^k\varphi^{(m)}(x)\right|\le c_{km}$, $x\in\mathbb{R}$, $\{k,m\}\subset \mathbb{Z}_+$, де $\{c_{km}\}$\,-- деяка подвiйна послiдовнiсть додатних чисел, а також спряжених просторів типу $S^{\prime}$.
У підрозділі 5.2 досліджується коректна розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором Бесселя дробового диференцiювання $(I-\Delta)^{\omega/2}$, $\omega>0$, $\omega\ne 2,4,6,...$, у випадку, коли початкова умова є узагальненою функцією із простору типу $ S^{\prime}$; при цьому знайдено оцінки ФРЗК, доведено, що розв'язок володіє властивістю локалізації.
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ
Дисертацiя присвячена розвитку теорiї задачi Кошi та доточкової задачi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових умов, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. Такi рiвняння утворюють новий клас псевдодиференцiальних рiвнянь i є важливими з точки зору застосувань у теорiї параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь та рiвнянь з частинними похiдними, теорiї перетворення Фур'є-Бесселя.
У дисертацiйнiй роботi вперше одержано такi результати:
- доведено теореми про перетворення Бесселя простору $\stackrel{o}\Phi$, описана топологiчна структура простору, який є образом простору основних функцiй при перетвореннi Бесселя;
- доведено, що операцiя узагальненого зсуву аргументу диференцiйовна (нескiнченно диференцiйовна) у просторi основних функцiй $\stackrel{o}\Phi$;
- дослiдженi властивостi перетворення Бесселя узагальнених функцiй з простору $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$, згорток узагальнених функцiй з основними; знайдено умови, якi характеризують клас згортувачiв\,-- узагальнених функцiй iз простору $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$ та мультиплiкаторiв;
- дослiдженi властивостi фундаментального розв'язку задачi Кошi (ФРЗК) як абстрактної функцiї часового параметра $t$ iз значеннями у просторi $\stackrel{o}\Phi$, встановленi оцiнки похiдних ФРЗК, доведена диференцiйовнiсть (по $t$) згортки ФРЗК з довiльною узагальненою функцiєю з простору $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$; вивчена поведiнка вказаних згорток при $t\to +0$ у просторi узагальнених функцiй $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$;
- встановлено коректну розв'язнiсть задачi Кошi у класi згортувачiв $(\stackrel{o}\Phi_*)^{\prime}$ -- узагальнених функцiй з простору $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$; при цьому розв'язок має вигляд $u(t,x)= (f*G)(t,x)$, $f\in(\stackrel{o}{\Phi}_*)^{\prime}$ ($G$\,-- ФРЗК), $u(t,\cdot)$ при кожному $t\in(0,T]$ належить до простору основних функцій $\stackrel{o}\Phi$, граничне значення $u(t,\cdot)$ при $t\to +0$ iснує в просторi узагальнених функцій $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$; доведено, що розв'язок задачi Кошi володiє властивiстю локалiзацiї;
- дослiдженi властивостi фундаментального розв'язку доточкової задачi для еволюцiйного рiвняння з псевдо-Бесселевим оператором як абстрактної функцiї часового параметра, вивчена поведiнка ФРДЗ при наближеннi до гiперплощин $t=0$, $t=T$; встановлено коректну розв'язнiсть двоточкової задачi у випадку, коли гранична функцiя є узагальненою функцiєю типу розподiлiв; доведено, що розв'язок двоточкової задачi володiє властивiстю локалiзацiї.
- встановлено коректну розв'язнiсть задачi Кошi для еволюційного рiвняння з оператором Бесселя дробового диференцiювання в класi узагальнених початкових умов типу ультрарозподiлiв; доведено, що розв'язок володiє властивiстю локалiзацiї.
Одержанi результати мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування i подальший розвиток у теорiї параболічних псевдодиференцiаль-них рiвнянь, теорiї перетворення Фур'є-Бесселя, теорiї узагальнених функцiй.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ
1. Городецький В.В., Ленюк О.М. Про дробове диференціювання у просторах типу $S'$ // Доп. НАН України. – 1998. – № 11. – С. 20-24.
2. Городецький В.В., Ленюк О.М. Еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими операторами // Доп. НАН України. – 2007. – № 8. – С. 11-15.
3. Городецький В.В., Ленюк О.М. Двоточкова задача для одного класу еволюційних рівнянь // Математичні студії. – 2007. – Т.28, № 2. – С. 175-182.
4. Ленюк О.М. Перетворення Бесселя одного класу узагальнених функцій типу розподілів // Науковий вiсник Чернiвецького унiверситету: Зб. наук. пр. Вип. 336-337. Математика. – Чернiвцi: Рута, 2007. – С. 95-102.
5. Ленюк О.М. Задача Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами // Науковий вiсник Чернiвецького унiверситету: Зб. наук. пр. Вип. 349. Математика. – Чернiвцi: Рута, 2007. – С. 55-65.
6. Городецький В.В., Ленюк О.М. Перетворення Фур'є-Бесселя одного класу нескінченно-диференційовних функцій // Крайові задачі для диферен-ціальних рівнянь: Зб. наук. пр. – Чернівці: Прут, 2007. – Вип. 15. – С. 51-66.
7. Городецький В., Ленюк О. Задача Кошi для одного класу параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь // VII Мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М. Кравчука (14-16 травня 1998 р., Київ). Матерiали конференцiї. – С. 121.
8. Lenyuk O. Boundary Properties of Smooth Solutions of One Parabolic Pseudodifferential Equation // International Conference Dedicated to J.P. Schauder. Book of Abstracts. – Lviv, 1999 (August 23-29). – P. 127.
9. Ленюк О.М. Граничні властивості гладких розв'язків для параболічних рівнянь з оператором Бесселя дробового диференціювання // Мiжнародна конференцiя "Диференціальні рівняння та їх застосування", присвячена 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (6-9 червня 2005 р., м. Київ). Тези доповiдей. – Київ, 2005. – С. 54.