Реферат: Фильтры нижних частот
Рисунок 2.
Именно эти зависимости являются исходными при аппроксимации.
1. Полиномиальные ФНЧ с максимально плоскими характеристиками затухания (Баттерворта)
Полиномиальными называются ФНЧ, у которых ОПФ имеет вид:
(1)
Не трудно показать, что нормированная АЧХ полиномиального фильтра определяется следующим выражением:
(2)
Осуществим аппроксимацию по Тейлору АЧХ фильтра нижних частот.
При этом потребуем, чтобы в точке =0, функция была равна единице, а все её │n-1│ первых производных обращались бы в нуль. В этом случае АЧХ синтезируемого фильтра будет максимально плоской.
Решение аппроксимации даёт следующий результат:
An =1; A1 =A2 =...=An -1 =0; A0 >0,
то есть любое вещественное положительное число (в противном случае нарушается УФР).
Следовательно, а() = 10lg (дБ).
Чрезвычайно удобно положить А0 =(100,1Δа –1), где Δа - допустимая неравномерность затухания в полосе пропускания.
Так, при Δа = 3дБ получается100,1*3 =100,3 =2, следовательно А0 =1 и формула приобретает вид:
a() = 10lg(1+2 n )
нормирующая частота ω0 в таком случае выбирается из условия:
а = Δа=3дБ.
Эту частоту принято называть граничной частотой ПП фильтра. На рисунке 3 приведено семейство АЧХ для разных значений n.
Рисунок 3.
Из него следует, что чем выше n, тем точнее аппроксимируется характеристика идеального фильтра.
Затухание рассматриваемых фильтров:
а = 10lg(1+2 n )
в полосе задерживания, где >>1 приближенно равно а20nlg и возрастает со скоростью 6n дБ/октаву.(Октава – удвоение частоты).
Если заданы требования к ФНЧ, то выбор порядка фильтра при Δа = 3дБ осуществляется из условия, которое следует из графика на рисунке 4.
Рисунок 4.
В случае, когда Δа3дБ и а0 10дБ, порядок фильтра может быть подсчитан по формуле: