Реферат: Фильтры нижних частот

Нормированная операторная передаточная функция находится для выражения:

Полиномы , образующие определённый подкласс полиномов Гурвица, получили название полиномов Баттерворта по имени автора, предложившего максимально плоскую аппроксимацию АЧХ фильтров. Они приводятся в справочной литературе, например в [Л2], стр. 290.

Реализация функции Т(р) может быть осуществлена любым из ранее рассмотренных методов. Однако для полиномиальных передаточных функций наибольшее распространение получила лестничная реализация, показанная на рисунке 5.

Рисунок 5.

Заметим, что число реактивных элементов этих схем всегда будет равно порядку передаточных функций Т(р), то есть числу n. Предпочтительное применение эти фильтры получили в случаях, когда надо уменьшить искажение формы передаваемых сигналов и не возникает необходимости в фазовом корректировании.

В настоящее время имеется большое число справочной литературы с табулированными решениями для фильтров Баттерворта, например [Л.2], стр. 291.

2. Полиномиальные ФНЧ с равноволновыми характеристиками затухания ( ф-ры Чебышева)

Пусть задана неравномерность затухания Δа, которая может быть на любой частоте полосы пропускания. Потребуем, чтобы при заданном n (числе элементов) затухания фильтра в полосе задержания, а₀ было бы максимально возможным.

Решение задачи аппроксимации, соответствующей сформулированным требованиям, основано на экстремальных свойствах равномерного (чебышевского) приближения. Аналитическая запись такого решения имеет вид:

а = 10lg(1+A₀ P_n ² ()),

где Р_п ()=cos(n·arccos()) – полином Чебышева степени n.

Поскольку cosa=chj, то существует и другая форма записи полиномов Чебышева:

Р_п ()=ch(n·arch()).

В литературе приводятся доказательства, что Р_п () действительно является полиномом степени n. Эти полиномы приводятся в справочной литературе, например в [Л.2], стр. 290.

n=2; P₂ ()=cos(2·arccos)=2² -1;

n=5; P_s ()=cos(5·arcos)=16⁵ -20³ +5.

В полосе пропускания, то есть на интервале от 0 до квадрат полинома Чебышева будет меняться в пределах [0;1], принимая поочерёдно крайние значения (n+1) раз. При этом функция а на рассматриваемом интервале частот будет принимать такое же число раз значения[0;Δа].

Рисунок 6.

На рисунке 6 приведены графики затухания чебышевских полиномиальных ФНЧ для значений n=2 и n=5 при одинаковых Δа.

Исследование функции а() позволяет сделать ряд важных и интересных для практики выводов:

1. При одном и том же значении Δа увеличение порядка передаточной функции приводит к увеличению крутизны характеристики затухания за пределами полосы пропускания.

2. При неизменном значении n затухание вне полосы пропускания тем больше, чем больше Δа.

3. Наименьшие (равные 0) и наибольшие (равные Δа) значения затухания чередуются в полосе пропускания. Именно поэтому аппроксимацию по Чебышеву часто называют «равноволновой».

4. Затухание фильтра в полосе задержания с увеличением частоты возрастает монотонно.

По заданным требованиям к характеристике затухания в полосе задерживания порядок ФНЧ Чебышева рассчитывается так же, как и порядок ФНЧ Баттерворта, исходя из условия а()а₀ .