Реферат: Фильтры нижних частот

Рисунок 2.

Именно эти зависимости являются исходными при аппроксимации.

1. Полиномиальные ФНЧ с максимально плоскими характеристиками затухания (Баттерворта)

Полиномиальными называются ФНЧ, у которых ОПФ имеет вид:

(1)

Не трудно показать, что нормированная АЧХ полиномиального фильтра определяется следующим выражением:

(2)

Осуществим аппроксимацию по Тейлору АЧХ фильтра нижних частот.

При этом потребуем, чтобы в точке =0, функция была равна единице, а все её │n-1│ первых производных обращались бы в нуль. В этом случае АЧХ синтезируемого фильтра будет максимально плоской.

Решение аппроксимации даёт следующий результат:

A_n =1; A₁ =A₂ =...=A_{n -1} =0; A₀ >0,

то есть любое вещественное положительное число (в противном случае нарушается УФР).

Следовательно, а() = 10lg (дБ).

Чрезвычайно удобно положить А₀ =(10^0,1Δа –1), где Δа - допустимая неравномерность затухания в полосе пропускания.

Так, при Δа = 3дБ получается10^0,1*3 =10^0,3 =2, следовательно А₀ =1 и формула приобретает вид:

a() = 10lg(1+^{2 n} )

нормирующая частота ω₀ в таком случае выбирается из условия:

а = Δа=3дБ.

Эту частоту принято называть граничной частотой ПП фильтра. На рисунке 3 приведено семейство АЧХ для разных значений n.

Рисунок 3.

Из него следует, что чем выше n, тем точнее аппроксимируется характеристика идеального фильтра.

Затухание рассматриваемых фильтров:

а = 10lg(1+^{2 n} )

в полосе задерживания, где >>1 приближенно равно а20nlg и возрастает со скоростью 6n дБ/октаву.(Октава – удвоение частоты).

Если заданы требования к ФНЧ, то выбор порядка фильтра при Δа = 3дБ осуществляется из условия, которое следует из графика на рисунке 4.

Рисунок 4.

В случае, когда Δа3дБ и а₀ 10дБ, порядок фильтра может быть подсчитан по формуле: