Міністерство освіти України

Коломийське В П У-17

Реферат

На тему: Формула Ньютона – Лейбніца.

Учня групи № 15

Лінькова А.М.

Коломия 2002р.

Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x , y = x ² Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.

Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням.

.

Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що

S

f

x

dx

a

b

=

ò

,

(

)

що

Виберемо довільну точку x є [ a; b] і проведемо через

неї пенпендикуляр хК до осі Ох . Площа фігури а А К х

змінюється зі змінною х . Позначемо цю функцію че-

рез S ( x ) і покажемо, що існує її похідна причина, при-

чому S΄ ( x )=ƒ( x ) , де y =ƒ( x ) – підінтегральна функція,

графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше

кажечи, покажемо, що S ( x ) є первісною для ƒ( x ) .

Надамо змінній x приросту Δ x , вважаючи ( для спрощення міркування), що Δ x > 0 . Тоді й фенкція S ( x ) набуде приросту Δ S ( x ) . У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку [ a ; b ] функція y =ƒ( x ) досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y =ƒ( x ) є неперервною на відрізку [ x , x + Δ x ] , то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,

m Δ x < Δ S ( x ) < M Δ x

Поділивши всі частини цієї нерівності на, одержимо

За непервністю функції y =ƒ( x )

lim m =lim M = ƒ(x)

D

®

D

D

=

D

®

D

D

=

¢

¢

=

lim

0

(

)

(

).

lim

0

(

)

(

),

(

)

(

),

тоді

x

S

x

S

f

x

x

S

x

x

S

x

то

S

x

f

x

тобто

Δ x→0 Δ x→0

Але	Оскільки

функція є однією з первісних функції y=ƒ(x ) .

Позначимо через F ( x ) будь-яку первісну для функції y =ƒ( x ) . За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C . Тому

S ( x ) = F ( x )+ C . (1)

При x = a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A , тому S ( x ) = 0 .

Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S ( x ) число 0 , одер-жимо C = - F ( a ) . Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо

S ( x ) = F ( x )- F ( a ). (2)

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--