Реферат: Функции алгебры логики. Логический базис
Если записать ФАЛ в виде:
, (3)
то форма представления данной функции не является СДНФ, так как второй минтерм не содержит аргумента , а также не является ДНФ, так как третий минтерм не является элементарным.
Функцию можно упростить (минимизировать) и представить минимальной ДНФ (МДНФ).
(4)
Полученные элементарные члены МДНФ называются импликантами.
КНФ – конъюнктивная нормальная форма записи ФАЛ, представляется в виде произведения (конъюнкции) ряда элементарных членов (макстермов), которые являются суммой (дизъюнкцией) аргументов ФАЛ.
Запишем функцию в КНФ:
. (5)
СКНФ – совершенная конъюнктивная нормальная форма записи ФАЛ представляется в КНФ, где в каждом элементарном члене (макстерме) представлены все аргументы функции либо их инверсии.
Запишем функцию в СКНФ:
. (6)
По функциям, представленным в СДНФ и СКНФ, можно построить таблицу истинности и наоборот – по таблице истинности можно записать ФАЛ в СДНФ и СКНФ.
На основании общей табл. 1 составим таблицу истинности функции неравнозначности и запишем ее в СДНФ и СКНФ.
На наборах N(2,3), где функция принимает значения 1, записываем ФАЛ в СДНФ, а на наборах N(1,4) – в СКНФ. При записи ФАЛ в СДНФ аргументы x=0 записываются с инверсией , а в СКНФ – без инверсии.
При записи функции в СДНФ по таблице истинности необходимо записать столько дизъюнктивных членов (минтермов), представляющих собой конъюнкции всех аргументов, сколько единиц содержит функция в таблице. Минтермы соединяются знаком логического суммирования.
Если в наборе значение аргумента равно нулю, то в конъюнкцию входит инверсия данного аргумента.
При записи ФАЛ в СКНФ необходимо записать столько конъюнктивных членов (макстермов), сколько нулей содержит функция. Макстермы (конъюнкции аргументов) соединяются знаком логического умножения. Если в наборе значение аргумента равно нулю, то в дизъюнкцию входит аргумент без инверсии.
2. Логический базис
Логические функции могут быть реализованы простейшими логическими элементами. Совокупность логических элементов И, ИЛИ, НЕ, с помощью которых можно воспроизвести и реализовать любую ФАЛ, будем называть полным логическим базисом.
Базис И, ИЛИ, НЕ обладает избыточностью и не является минимальным. Из этой совокупности ЛЭ можно исключить логический элемент И (либо ЛЭ ИЛИ), тогда наборы И, НЕ и ИЛИ, НЕ также будут обладать свойством базиса.
При проектировании логических схем вычислительной техники самое широкое применение получили базис Шеффера И-НЕ и базис Пирса ИЛИ-НЕ, обладающие свойством логического базиса.
Следует отметить, что одну и ту же логическую функцию (операцию) можно реализовать в различных базисах. Покажем это на примерах простых логических операций дизъюнкции и конъюнкции:
; . (7)
Используя законы инверсии и , преобразуем логические выражения :
;. (8)
Выражения (7) отражают принцип двойственности алгебры логики: если в логическом выражении операцию дизъюнкции заменить на операцию конъюнкции (либо наоборот) и проинвертировать все переменные, то результат окажется инверсным прежнему значению.
Используя принцип двойственности алгебры логики, реализуем логическое выражение (7) в различных базисах.
Рис. 2
Из рис.2 следует: если переименовать все входы и выходы логического элемента ЛЭ1 на инверсные значения и заменить ЛЭ дизъюнкции на ЛЭ2 конъюнкции, то функции дизъюнкции можно выполнить с помощью элементов НЕ, И (ЛС3) либо базиса Шеффера И-НЕ (ЛС4).
Все логические схемы (рис. 2) выполняют логическую операцию (функцию) ИЛИ, которую можно реализовать на однотипных логических элементах И-НЕ, а при наличии инверсных сигналов в проектируемом устройстве – на одном ЛЭ И-НЕ.
На рис. 2 ЛС3 и ЛС4 – логические схемы, в состав которых входят несколько логических элементов ЛЭ.
Аналогично можно показать, что логическую операцию (функцию) И можно выполнить в базисах НЕ, ИЛИ либо в базисе Пирса ИЛИ-НЕ (рис. 3).
Рис. 3
Таким образом, логический базис, представляющий собой совокупность типов логических элементов, может быть выполнен на универсальных логических элементах И-НЕ и ИЛИ-НЕ, выпускаемых промышленностью в интегральном исполнении. Полный логический базис И, ИЛИ, НЕ обычно используется на начальной стадии проектирования функциональных узлов для составления функциональных схем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Браммер Ю.А. Цифровые устройства: Учеб. пособие для вузов. –М.:Высш. шк., 2004. –229с.
2. Пухальский Г.И., Новосельцева Т.Я. Цифровые устройства: Учеб. пособие для втузов.- СПб.: Политехника, 1996.- 885 с.