Реферат: Функции

Пусть

,

тогда х ÎR и

,

поэтому f -сюръекция.

Рассмотрим функцию f: Х ® У, где Х и У – подмножества R. Если у нас есть график функции у = f(х), то мы можем легко ответить на вопросы: является или нет функция f(х) инъективной или сюръективной?Предположим, что f не инъективна. Тогда существуют два элемента х¢и х¢¢ в Х такие, что х¢¹ х¢¢, но f(х¢)= f(х¢¢) = b, то есть горизонтальная прямая у = b должна дважды пересечь график функции в точках, которые отвечают х = х¢ и х = х¢¢.

Если же f – инъективна, то такой ситуации никогда не возникнет, то есть горизонтальная прямая у = b, проведенная через любую точку bÎ У на оси Оу, никогда не будет иметь с графиком функции более, чем одной общей точки.

Если же f – сюръективна, то У_f = У, и любая горизонтальная прямая, проходящая через точку множества У, обязательно будет иметь общую с графиком точку.

Проведенные рассуждения суммируем в виде следующей теоремы.

Теорема 1 . Пусть f:Х ® У – функция, где Х и У – подмножества R. Тогда:

1) f – инъективна, если и только если каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку b на оси Оу, будет иметь самое большее, одну общую точку с графиком f(х);

2) f – сюръективна, если и только если каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку bÎ У оси Оу, будет иметь, по крайней мере, одну общую точку с графиком f(х).

Примеры.

??????? ? ???????? (?) ???????? ???????????, ??? ??? ?????? ?????????????? ??????, ?????????? ????? ????? b ??? O? ????? ?? ?????, ??? ???? ????? ????? ? ????????. ??? ??????? ?? ???????? ????????????, ??? ???, ????????, ?????????????? ??????, ?????????? ????? ????? ? ?????????????? ??????????, ?? ?????????? ?????? ??????? ?? ????.

График (б) – это график функции, которая сюръективна, но не инъективна. Каждая горизонтальная прямая, проходящая через точки У, обязательно имеет хотя бы одну общую точку с графиком. Однако, у самой функции имеется горизонтальный участок, поэтому при соответствующем значении у горизонтальная прямая будет иметь бесконечно много общих точек с графиком.

Аналогичные рассуждения показывают, что функция, представленная на графике (в), будет одновременно и инъективна и сюръективна, т.е. является биекцией, а функция, изображенная на графике (г), одновременно не является ни инъективной, ни сюръективной.

Если f:Х ® У и А Í Х, то множество S = {у½уÎУ, у = f(х), х Î А}, т.е. множество всех тех у , в каждый из которых при отображении f отображается хотя бы один элемент из подмножества А множества Х, называется образом подмножества А и обозначается S = f(А). В частности, всегда У_f = f(X). Для образов множеств А Х и В Х справедливы следующие соотношения:

f(АÈВ) = f(А)Èf(B),

f(АÇВ) Íf(А)Çf(B),

f(А)\f(В) Íf(А\В),

и если АÍВ, то f(А)Íf(В).

Если f:Х ® У и SÍУ, то множество А = {х½хÎХ, f(х)ÎS}

называется прообразом множества S и обозначается А=f^-1 (S). Таким образом, прообраз множества S состоит из всех тех элементов хÎХ, которые при отображении f отображаются в элементы из S, или, что то же самое, которое состоит из всех прообразов элементов уÎS, т.е. f^-1 (S) = f^{- -1} (у). Для прообразов множеств SÍУ и ТÍУ справедливы соотношения:

f ^-1 (S ÈТ) = f ^-1 (S) È f ^-1 (Т)

f ^-1 (S ÇТ) = f ^-1 (S) Ç f ^-1 (Т)

f ^-1 (S \ Т) = f ^-1 (S) \ f ^-1 (Т),

а если SÍТ, то f^-1 (S) Íf^-1 (Т).

Если АÍХ, то функция f:Х ® У естественным образом порождает функцию, определенную на множестве А, ставящую в соответствие каждому элементу хÎА элемент f(х). Эта функция называется сужением функции f на множестве А и иногда обозначается f_А . Таким образом, f_А : А®У и для любого хÎА имеет место f_А : хf(х). Если множество А не совпадает со множеством Х, то сужение f_А функции f на множестве А имеет другую область определения, чем функция f, и, следовательно, является другой, чем f, функцией.

Композиция функций

Пусть f:Х®У и g:У®Z – функции. Функция F:X®Z, определенная для каждого хÎХ формулой F(x)=g(f(x)) называется композицией (суперпозицией) функций f и g, или сложной функцией, и обозначается .