Реферат: Функція, її границя та неперервність

Тепер розглянемо границю функції двох змінних. Її означення аналогічне означенню границі функції однієї змінної. Нехай функція задана в деякій області і точка або, але має таку властивість, що в довільному -околі цієї точки міститься хоча б одна точка множини, відмінна від_. Число називається границею функції в точці , якщо для довільної, збіжної до послідовності точок , відповідна послідовність значень функції збігається до числа. При цьому пишуть:

, або.

Наведене означення границі функції називають означенням за Гейне або означенням „на мові послідовностей”.

Дамо еквівалентне означення границі функції за Коші або означення „на мові”. Число називається границею функції в точці , якщо для кожного числа знайдеться число таке, що для всіх точок, які задовольняють умову, виконується нерівність.

Користуючись означенням границі функції двох змінних, можна перенести основні теореми про границі для функції однієї змінної на функції двох змінних. Наприклад, правильне таке твердження.

Теорема. Нехай функції і визначені на одній і тій самій
множині і мають в точці границі і.

Тоді функції, мають в
точці границі,які відповідно дорівнюють.

Функція називається нескінченно малою в точці (або при), якщо .

Якщо функція має в точці границю, яка дорівнює, то
функція є нескінченно малою в точці _, тому що. Звідси випливає, що функція в околі точки відрізняється від границі на нескінченно малу функцію.

Приклади

Знайти границі:

а)

б)

Розв’язання

а) Якщо, то , тому

.

б) Умова еквівалентна умові .

Оскільки ,

То

і, отже,

Означення границі функції змінних при аналогічне означенням границі при , якщо в -вимірному просторі ввести таке поняття -околу: -околом точки називається множина всіх точок, координати яких задовольняють нерівності

.

Зокрема, у тривимірному просторі -околом точки є множина всіх внутрішніх точок кулі з центром у точці радіуса.

3. Неперервність функції багатьох змінних

Поняття неперервної функції багатьох змінних вводиться за допомогою поняття границі.

Нехай функція визначена на множині, точка і довільний -окіл точки містить точки множини.

Функція називається неперервною в точці , якщо

.(1)