Реферат: Геометрические свойства равнобедренных треугольников

то

. (2)

Однако из курса геометрии известно, что центр вписанной в любой треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис его углов.

1.2. Отношение боковой стороны равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно отношению котангенса половинного угла при основании к косинусу полного угла при основании:

(3)

1.3. В равнобедренном треугольнике отношение разницы между основной высотой и радиусом вписанной окружности к величине последнего равно отношению боковой стороны к половине основания или величине, обратной значению косинуса угла при основании:

. (4)

Теорема 2: Об отношении основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности

Отношение основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности равно удвоенному произведению квадрата синуса угла при основании или разнице единицы и косинуса двойного угла при основании:

Рис. 2. Равнобедренный ∆ АВС с описанной вокруг него окружностью.

Исходные данные:

Равнобедренный ∆АВС (рис. 2); ВD = h - основная высота, опущенная из вершины В на основание АС = 2  а; АВ = ВС = b - боковые стороны треугольника; АQ = BQ = CQ = R - радиус описанной вокруг ∆АВС окружности,  ВАС =  ВСА =  .

Доказать:

(5)

Доказательство:

Формулы для вычисления площади ∆АВС:

S ∆АВС =

S ∆АВС =

Получим:

(5)

Следствия из теоремы 2:

2.1. Отношение половины стороны основания равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности равно синусу двойного угла при основании:

Так как

,

то

(6)

Поскольку