Реферат: Геометрические свойства равнобедренных треугольников

то

2.2. Отношение боковой стороны к радиусу описанной окружности равно двум синусам углам при основании:

(7)

2.3 В равнобедренном треугольнике отношение разницы между радиусом описанной окружности и основной высотой к величине первого равно косинусу двойного угла при основании:

(8)

Следствие из теорем 1 и 2:

В равнобедренном треугольнике отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности равно произведению тангенса половинного угла при основании и синуса двойного угла при основании:

(9)

В табл. 1 представлены взаимосвязи между линейными элементами равнобедренного треугольника (основная высота, половина основания, боковая сторона, радиусы вписанных и описанных окружностей), выражаемые через тригонометрические выражения равных углов при основании.

Таблица 1

Соотношения в равнобедренном треугольнике

		Y
		a	b	h	R	R
XX	aa	1
	bb		1
	hh			1
	RR				1
	rr					1

В предлагаемых ниже двух теоремах рассмотрены взаимосвязи между вписанными и описанными окружностями двух равнобедренных треугольников, имеющих один общий элемент. В первой теореме данным субъектом является основная высота, во второй - сторона основания. Что же касается совпадения боковых сторон равнобедренных треугольников, то здесь получим равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Теорема 3: О равных углах равнобедренных треугольников

Если два равнобедренных треугольника построены на одной основной высоте и равные углы при основании одного равны углу между боковыми сторонами второго, то их центры вписанной и описанной окружностей соответственно совпадут.

Исходные данные:

Равнобедренные ∆АВС и ∆ЕBF c общей основной высотой ВD = h. DO 1 = r и ВО 2 = R - радиусы вписанной и описанной окружностей равнобедренных ∆АВС и ∆ЕBF соответственно.

 ВАС =  ВСА =  EBF =  ,

 BEF =  BFE =  (рис. 3)

Рис. 3. Геометрическая интерпретация теоремы 3

Доказать:

h = R + r (10)

Доказательство:

Для равнобедренного ∆АВС:

Для равнобедренного ∆ЕBF:

По условию теоремы