Реферат: Господствующие стили математического мышления

Стиль - понятие, развивавшееся тысячелетия в искусстве, литературе, языке и означавшее целостность образной системы, единство средств художественной выразительности. Например, в архитектуре известны стили - античный, готика, классический, барокко, модерн и другие. С 70-х годов XX в. в исследованиях по истории и методологии науки было введено и широко обсуждалось понятие стиля научного мышления.

Аналогично можно говорить о стиле мышления в математике: это целостное единство содержания и формы математического творчества и его результата - научного произведения; это единство идеи и ее доказательства (обоснования и изложения). Стиль является неотъемлемой характеристикой личности автора и его математического творчества (под личностью здесь понимается отдельный ученый, сообщество, научная школа).

Каждый выдающийся математик отличался собственным стилем творчества, проявлявшимся во многих произведениях. Для Пифагора и его школы характерен мистико-математический стиль, т.е. изотерическое мировоззрение, отрывки из которого выглядят для непосвящённого то как религиозное, то как философское знание. Для Демокрита - математический атомизм, ставший первым предвестником дифференциального и интегрального исчислений. Для Евклида - строго последовательный, предельно лаконичный, я бы сказал, аскетический стиль аксиоматики. Для Архимеда - гениальный своей простотой и смелостью механико-геометрический стиль доказательств (во многом схожий с корпускулярно-механическим стилем И.Ньютона, понимавшего мир как совокупность корпускул, движущихся по одним и тем же неизменным, раз навсегда установленным законам). Стиль Архимеда и Ньютона возникает при восхождении мысли от содержательного к формальному, от конкретно-физического к абстрактно-математическому уровню понятий.

Прямо противоположен по направленности стиль Г.Лейбница, шедшего от философии к математике, от философско-теологической модели бытия (монадологии) к более конкретному уровню - анализу бесконечно малых.

Стиль голографичен, т.е. узнаваем по отдельному произведению. Прочитав кусок из древнего текста об аксиомах и постулатах, мы сразу узнаем его автора - Евклида. Несколько страниц из книги XIX века об основаниях геометрии однозначно укажут на их автора - Н.И.Лобачевского, Я.Бойаи или Б.Римана. Поэтому и в математике работает герменевтика - теория понимания, возникшая в типично гуманитарных областях - теологии, филологии, юриспруденции.

Стоит отметить известную мысль Ф.Клейна о двух типах математиков - интуитивистах и формалистах. Первые стремятся проникнуть в сущность проблемы и "увидеть" результат (путем озарения, инсайта), потом сформулировать теоремы и доказать. Но доказательство для них - дело второстепенное.

Для вторых наоборот: главное - доказать теорему - тщательно, скрупулезно, не только одним, но и вторым, и третьим способами, чтобы проверить и перепроверить доказанное, убедиться в получении "абсолютной истины".

Большинство выдающихся математиков относятся к интуитивистам (в последние века - П.Ферма, Р.Декарт, Л.Эйлер, Н.И.Лобачевский, Б.Риман, А.Пуанкаре, Л.Брауэр, Г.Вейль и другие). Но немало известных ученых гармонично сочетали в своем стиле и глубочайшую интуицию, и строгую логику - Гаусс, например.

Можно говорить также о стилях, определяемых излюбленными методами математика, либо связями с приложениями, либо истоками идей (из естествознания, управления, философии или даже политики).

Как видим, стили чрезвычайно разнообразны и определяются неповторимым сочетанием следующих трёх факторов:

1. Личностью учёного (его одухотворённостью, эмоциями и интеллектом, памятью, волей, системой ценностей, преобладанием дискретных или непрерывных процессов в мышлении, нацеленностью на открытие, новизну или на обоснование ранее полученного знания, на доказательство, ориентацией на красоту идеи или на пользу и т.п.). Всё это составляет гуманитарную, субъективно человеческую и наиболее богатую составляющую стиля.

2. Специфическими свойствами математического знания (требованием его аподиктичности - доказательности и неопровержимости, трансцендентностью, умозрительностью и формально-знаковым характером, тремя фундаментальными структурами - арифметической, алгебраической, топологической, ориентацией на истину, а не пользу, его связью с приложениями в естественных и гуманитарных науках). Это "объективная" составляющая стиля, наиболее независимая от личности учёного.

3. Социально-культурным контекстом данного времени, определяемым: а) спецификой культуры - восточной или западной; б) господствующим мировоззрением - мифологическим, религиозным или философским, а также ведущей ориентацией эпохи - на гармонию (как в древней Греции), или на духовное совершенствование (как в средние века), или на материально-технический прогресс (как в новое время, в последние четыре столетия), или на поиски гармонии человека и природы (с XXI века); в) нацеленностью научного сообщества в текущий период математики на эмпирические или теоретические методы обоснования теорем, на алгоритмический (генетический) или аксиоматический способы развития и изложения полученной информации, на конкретные или абстрактные задачи, на практический или теоретический способы организации математического знания и т.п.

Эти три фактора во взаимодействии и образуют необычайное богатство математических стилей как единства формального и содержательного, духовного и материального, фантастического и реального, гуманитарного и естественнонаучного и других элементов знания.

Каковы же главные стили, как их классифицировать, систематизировать - по каким основаниям?

Большинство людей мыслят в рамках двузначной логики, поэтому и стили мышления удобнее всего представить как расположенные между двумя противоположными полюсами А и -А (как аттракторами - центрами притяжения мышления самых различных ученых). Отсюда естественно ввести классификацию стилей по линии противопоставления: 1) содержательный стиль - формальный стиль (или близкое к ним деление: конкретный - абстрактный стиль, частное - общее, имея в виду стремление одного ученого к решению конкретных задач, а другого наоборот - к построению абстрактно-формальных схем и их применению к решению частных вопросов); 2) дискретный - непрерывный (в частности, алгебраический - геометрический), 3) платонистский - неплатонистский (в частности, классический, в духе теоретико-множественной математики, - интуиционистский, в духе интуиционизма Л.Э.Я.Брауэра). Кроме подобных делений с философско-методологических позиций, возможны гуманитарные классификации: 1) национальный - интернациональный, 2)индивидуальный, неповторимый - повторяющийся, 3) временный, относящийся к данной эпохе - "вечный", внеэпохальный, 4) относящийся к определенной математической школе - "внешкольный" и т.п.

Рассмотрим их подробнее на примерах сопоставления стилей отдельных ученых. Из сравнения и будет видно - чей стиль более содержателен, чей более формален, более непрерывен или более дискретен.

Сравним И.Ньютона и Г.Лейбница.

Области их интересов в математике во многом сходны - это начала дифференциального и интегрального исчислений, вариационного исчисления, аналитическая геометрия. Но постановка проблем, формулировка задач, подходы к их решению, методы решения, философия и особенности мышления - различны и нередко противоположны.

Ньютон во всем основателен, фундаментален, требователен к себе - вследствие этого медлителен. Лейбниц гораздо более разбросан и тороплив. Получив результат, спешит опубликовать. Англичанин эмпиричен, строит приборы, проводит тщательную проверку выводов, стремится избегать гипотез, не обоснованных опытом ("hypotesis non fingo"). Немец - сторонник чистого умозрения, теоретик, не слишком затрудняющий себя обоснованием многочисленных идей (догадок, обобщений, аналогий), непрерывно выдвигаемых им. Ньютон идет от конкретного к абстрактному - от фактов к законам и теории в целом, математика для него - лишь часть естествознания. Лейбниц обычно мыслит от общего к частному, от абстрактного к конкретному - от философской схемы монадологии к ее интерпретации в математике - идеям дифференциала и интеграла. Математика и логика для него - нечто вроде формального раздела философии. Создатель "Математических начал натуральной философии" мыслит целостными геометрическими образами, ему по душе правополушарное мышление, мышление непрерывным. Основоположнику математической логики ближе алгебраические формы, дискретные символы, левополушарное мышление

Таким образом, хотя стиль каждого ученого глубоко индивидуален, а выдающегося - просто неповторим, тем не менее можно сделать вывод, что стиль Ньютона в основном геометро-механический, а стиль Лейбница -алгебро-логический. Это вполне соответствует и культуре их стран. Англия, как известно, родина эмпиризма, оплот индуктивизма и индивидуализма. Германии же более присуще чисто теоретическое, формально-схематическое мышление, движение мысли от абстрактного к конкретному, а следовательно - дедуктивизм, стремление подчинить индивидуальное, частное - тоталитарному целому.

Сходным образом, можно сравнить стили мышления Д.Гильберта и Л.Э.Я.Брауэра. Они заложили 2 программы обоснования математики - формализм и интуиционизм. Сходство и различие их стилей (как специалистов по основаниям) легче всего обнаружить при сравнении позиций в дискуссии по основаниям математики, которая проходила то разгораясь, то затухая в 1910-е - 20-е годы. Обсуждалось значение теории множеств для математики, роль аксиоматического метода, формализации, абстракции актуальной бесконечности, законы логики (в особенности закон исключенного третьего), связи между математикой, языком, логикой, существование математических объектов, природа и методы математического мышления, проблема реальности.

Брауэр критикует классическую (теоретико-множественную) математику за необоснованность, неубедительность ее слишком умозрительных, "лихих" абстракций. Гильберт защищает идеалы Кантора. Брауэр опирается в качестве философского фундамента на "непосредственно данную реальность", на переживания индивида - в этом смысле ему близки буддизм, экзистенционализм, философия потока сознания. Гильберт берет за основу объективную реальность, данную в коллективном чувственном опыте. Его философия - платонизм и неокантианство.

В дискуссии обсуждались 5 главных проблем: 1) проблема непротиворечивости и полноты теории (математики), 2) обоснования теории, 3) существования математических объектов, 4) природы познания, 5) реальности и ее единства.

Проблема непрерывности и полноты.

Брауэр: классическая математика противоречива, т.к. опирается на теорию множеств, содержащую парадоксы. Новая (интуиционистская) математика рассматривает мир мысленных процессов, развертывающихся в последовательность элементарных актов (шагов). Результаты этих процессов - математические объекты и конструкции.

Гильберт: классическая математика непротиворечива, ее теории полны, т.к. а) ее конструкции продуманы и признаны математическим сообществом, б) она прекрасно работает в практике. Бессмысленна замена классической математики на интуиционистскую, т.к. последняя неполна, это обрезанная (секвестированная) математика.

Проблема обоснования.

Брауэр: только такая математика обоснована, которая соответствует критериям интуиционизма как конструктивному обобщению человеческого опыта. Аксиоматический метод и формализация не выражают сущности математического мышления, т.к. скрывают за языковой формой эту сущность. Убедительное обоснование математики дает лишь интуиция как непосредственное внутреннее безъязыковое переживание образов, идущих из глубины "я". Лишь по требованию социума ученый вынужден облекать эти образы в языковую форму и тем искажать их (в точности, как у Ф.И.Тютчева: "мысль изреченная есть ложь"). У Гильберта же математика вырождается в игру формулами.

Гильберт: классическая математика обосновывается коллективным опытом научного сообщества. Окончательное обоснование даст теория доказательств. Она является "протоколом о правилах мышления". Ее существенной частью являются формализм и аксиоматический метод. Задача науки - освобождение от субъективизма, который достиг своего наивысшего выражения в интуиционизме.

Проблема существования математического объекта.

Брауэр: математический объект существует, если он построен явно или его построение возможно с помощью алгоритма. Теоремы о существовании без построения не имеют никакого значения.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--